Применение теоремы Нётер

Question

Я пытаюсь понять один из примеров применения теоремы Нётер, приведенный в книге Пескина и Шредера « Введение в квантовую теорию поля» (страница № 18, издание «Студенческая экономика»). Соответствующая часть текста приведена ниже.

Если я правильно понимаю вывод и соответствующее обсуждение здесь , то предполагалось, что плотность лагранжиана$\mathcal{L}$ удовлетворяет уравнению Эйлера-Лагранжа: $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = \partial_{\mu}\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\right].$$

Мое замешательство: я не понимаю, как$\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_{\mu} \phi)^2$удовлетворяет уравнению Эйлера-Лагранжа. Потому что слева я получаю$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = 0$, а с правой стороны я получаю $\partial_{\mu}\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\right] = \partial_{\mu} \partial^{\mu} \phi.$ Если данный $\mathcal{L}$не удовлетворяет уравнению Эйлера-Лагранжа, тогда как формулировку Пескина и Шредера можно применить к этому случаю? Что мне здесь не хватает?

Answer 1

Вы правильно написали уравнение Эйлера-Лагранжа. Итак, когда вы его упрощаете, вы получаете уравнение движения (как вы упомянули в своем вопросе):$$\partial_\mu\partial^\mu\phi=\partial^2\phi=0.$$ Обратите внимание, что в этом нет ничего особенного, потому что если вы использовали лагранжиан и с термином потенциальной энергии, т.е. $$\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2,$$ уравнение движения, которое вы получите, это $$(\partial_\mu\partial^\mu+m^2)\phi=0.$$Все, что мы здесь делаем, это подключаем $m=0$, что возвращает первое уравнение.

Если я правильно понимаю, у вас проблема с "удовлетворением" уравнения Эйлера-Лагранжа. Я хотел бы уточнить это, поправив ваше утверждение: неверно говорить, что «лагранжиан»$\mathcal{L}$удовлетворяет уравнению Эйлера-Лагранжа; Это «поле»$\phi$ которое удовлетворяет уравнению Эйлера-Лагранжа.

Уравнение Эйлера-Лагранжа имеет вид $$\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=0,$$который дает вам разные выражения в LHS в зависимости от того, какой лагранжиан вы используете (мы уже видели два примера выше). Вы приравниваете выражение на LHS к нулю, чтобы получить уравнение Эйлера-Лагранжа (или уравнение движения), и решаете для$\phi$.

Надеюсь, это прояснило проблему.

Answer 2

Уравнение Эйлера-Лагранжа не удовлетворяется автоматически $\mathcal{L}$. Все наоборот. Дано$\mathcal{L}$, можно найти классическое уравнение движения, которому удовлетворяет поле $\phi$. Это все равно что дать вам формулу силы в механике Ньютона. Даже если ты знаешь$F$, вам все еще нужно знать второй закон Ньютона $F=ma$найти движение. Здесь тоже: дано$\mathcal{L}$, вам все еще нужен «закон» (уравнение EL), чтобы найти движение.

Answer 3

Как бы то ни было, очень важно, на каком этапе используются уравнения Эйлера-Лагранжа (EL) в приложении (первой) теоремы Нётер . У первой теоремы Нётер есть две стороны:

• Вход: глобальная внешняя оболочка$^1$ (квази) симметрия . При этом следует не использовать МЫ. ( Симметрия на оболочке - пустое понятие, потому что всякий раз, когда мы меняем действие$\delta S$ бесконечно малым и применяем EOM, тогда по определению $\delta S\approx 0$ обращается в нуль по модулю граничных членов.)

• Выход: уравнение неразрывности на оболочке . Здесь следует использовать EOM. (Если это происходит и за пределами оболочки, это потому, что глобальная симметрия является частью большей локальной / калибровочной симметрии. См . Вторую теорему Нётер и, например, этот пост Phys.SE.)

-

$^1$Слова на оболочке и вне оболочки относятся к тому, удовлетворяются ли уравнения Эйлера-Лагранжа (EL) (= EOM) или нет.