Проблемы с $I(\alpha) = \int_0^{\infty} \frac{\cos (\alpha x)}{x^2 + 1} dx$

Question

Я в конечном итоге пытаюсь решить $$I(\alpha) = \int_0^{\infty} \dfrac{\cos (\alpha x)}{x^2 + 1} dx$$

с помощью дифференцирования под интегралом. Я понимаю, что это легче всего сделать с помощью вычетов, но я намерен решить эту задачу, чтобы познакомить моих студентов, изучающих сложные математические вычисления 2 / дифференциальные уравнения, с некоторыми интересными методами, прежде чем они начнут реальный анализ.

Первое дифференцирование под интегралом приводит к

$$I'(\alpha) = \int_0^{\infty} \dfrac{-x \sin (\alpha x)}{x^2 + 1} dx = - \dfrac{\pi}{2} + \int_0^{\infty} \dfrac{\sin (\alpha x)}{x(x^2 + 1)}dx$$

используя интеграл Дирихле и снова

$$I''(\alpha) = \int_0^{\infty} \dfrac{\cos (\alpha x)}{x^2 + 1} = I(\alpha)$$

Для решения этого ОДУ второго порядка нам потребуются два начальных условия. Интеграл для$I'(\alpha)$ приводит к неверному результату $I'(0) = 0$ но переписанная версия приводит к правильному результату $I'(0) = -\dfrac{\pi}{2}$. Мне трудно это оправдать.

Любая помощь или руководство приветствуются. Я также приведу более простые аргументы относительно того, почему$I'(0) \neq 0$.

Answer 1

Вы предполагаете, что $$ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin(\alpha x)}{x}dx= \frac{\pi}{2} $$ но если $\alpha=0$, тогда $$ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin(\alpha x)}{x}dx=0 $$ Итак, равенство $$ \int_{0}^{\infty}\frac{−x\sin(αx)}{x^2+1}dx=-\frac{π}{2}+\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(αx)}{x(x^2+1)}dx $$ верно, если и только если $\alpha>0$.