Разнообразие римановых метрик, адаптированных к данному (одномерному) слоению, точка зрения Крейна Миллмана
Позволять $X$ - векторное поле Кронекера на двумерном торе $\mathbb{T}^2$. Позволять$K$ быть пространством всех 1-форм $\alpha$ класса $C^1$ на $\mathbb{T}^2$ которые удовлетворяют $d\alpha=0,\;\alpha(X)=1$. потом$K$ выпуклое замкнутое подмножество всех $C^1$ 1-формы на $\mathbb{T}^2$.
Является $K$ компактное подмножество пространства 1-форм относительно $C^1$топология? Если ответ утвердительный. согласно теореме Крейна Миллмана, что является предварительным описанием ее крайних точек$K$?
Топологическая структура $K$ зависит от выбора векторного поля $X$касательной к нашему исходному кронекеровскому слоению тора? Топологическая структура$K$зависят от наклона нашего слоения Кронекера?
Мотивация:
Мотивация для этого вопроса следующая:
В этом посте и некоторых других связанных постах мы пытаемся найти риманову метрику, совместимую с орбитами не исчезающих векторных полей. Выбор различных показателей позволяет нам использовать разные функции curvatuare. Обладание подходящей функцией кривизны очень важно для применения теоремы Гаусса Бонне к проблеме предельных циклов векторных полей (для того, чтобы считать их замкнутыми геодезическими). Таким образом, эта ситуация заставляет задуматься о разнообразии замкнутых дифференциальных 1-форм$\alpha$ с участием $\alpha(X)=1$. При этих условиях, в частности из свойства замкнутой выпуклости этого множества$K$. возникает соблазн поинтересоваться точным описанием возможных экстремальных точек$K$.
Замечание: Для обобщения этого вопроса на$n$ пространство, мы должны рассматривать пространство всех 1-форм $\alpha$ с участием $i_X d\alpha=0,\;\alpha(X)=1$.
Ответы
Я не думаю, что это компактно, но, может быть, я пропускаю условие нормализации?
Позволять $X=\partial_x+a\partial_y$, с участием $a$иррационально (не имеет значения для следующего). Позволять$\alpha\in C$ (например $\alpha=dx$) и разреши $\omega_\lambda=\lambda(a dx-dy)$, для $\lambda\in \mathbb R$. Так как$X$ живет в ядре $\omega_\lambda$, и $d\omega_\lambda=0$, тогда $\alpha+\omega_\lambda\in C$.