Решите этот интеграл $\int \frac{dx} {\sin^5{x}}$

Question

Обозначим

$$I_{m,n} = \int \sin^m{x} \cos^n{x}\ dx$$

где $m,n$ являются целыми числами (возможно, отрицательными или нулевыми).

Есть несколько хорошо известных рекуррентных формул для $I_{m,n}$

Итак ... в качестве примера я пытался решить этот конкретный интеграл

$$\int \frac{dx} {\sin^5{x}}$$

используя эти рекуррентные формулы, и я наконец получил ответ
(вычисления были не очень долгими, всего 1 или 2 листа А4):

$$F(x) = \frac{5}{8} \ln {|\tan \frac{x}{2}|} - \frac{5}{24} \cdot \frac{\cos{x}}{\sin^2{x}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{\cos{x}}{\sin^4{x}}$$

Но WA не дает мне простого выражения, когда я различаю $F(x)$

Мой ответ неверен? Как мне проверить это с помощью другого инструмента, кроме WA?

Есть идеи, как проверить?

РЕДАКТИРОВАТЬ: Теперь я исправил проблемы в своих расчетах и ​​получил этот ответ.

$$\frac{3}{8}\ln|\tan(\frac{x}{2})|-\frac{3}{8}\frac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)}-\frac{1}{4}\frac{\cos(x)}{\sin^{4}(x)}$$

Но он все равно не совпадает с ответом WA ...

WA ответ

Какой здесь правильный?

Answer 1

Вы где-то ошиблись. Из WA и после упрощений у вас должно быть (что я получаю):

$$\frac{3}{8}\ln|\tan(\frac{x}{2})|-\frac{3}{8}\frac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)}-\frac{1}{4}\frac{\cos(x)}{\sin^{4}(x)}$$

Дай мне знать!

---

я думаю $24\ln|\tan(\frac{x}{2})|$ ясно, и мы умножили его на $\frac{1}{64}$ дать правильный срок.

Затем перепишите оставшиеся термины (из WA) как:

$$\frac{1}{64}\big[-\frac{1}{\sin^{4}(\frac{x}{2})}-\frac{6}{\sin^{2}({\frac{x}{2})}}+\frac{1}{\cos^{4}(\frac{x}{2})}+\frac{6}{\cos^{2}({\frac{x}{2})}}\big]$$ $$=\frac{6}{64}\big[\frac{\sin^{2}(\frac{x}{2})-\cos^{2}(\frac{x}{2})}{\sin^2({\frac{x}{2})\cos^{2}(\frac{x}{2})}}\big]+\frac{1}{64}\big[\frac{\sin^{4}(\frac{x}{2})-\cos^{4}(\frac{x}{2})}{\sin^4({\frac{x}{2})\cos^{4}(\frac{x}{2})}}\big].$$

Затем используя $\cos^2(x)-\sin^2(x)=\cos(2x)$ и $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$ первый член становится:

$$\frac{6}{64}\big[\frac{\sin^{2}(\frac{x}{2})-\cos^{2}(\frac{x}{2})}{\sin^2({\frac{x}{2})\cos^{2}(\frac{x}{2})}}\big]=-\frac{3}{32}\big[\frac{\cos(x)}{\frac{\sin^{2}(x)}{4}}\big]=-\frac{3}{8}\frac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)}.$$

Для другого члена мы имеем (числитель имеет вид $(A^2-B^2)=(A-B)(A+B)$):

$$-\frac{1}{64}\big[\frac{\cos^{2}(\frac{x}{2})-\sin^2({\frac{x}{2})}}{\frac{\sin^{4}(x)}{2^4}}\big]=-\frac{1}{4}\frac{\cos(x)}{\sin^{4}(x)}.$$

Answer 2

Использовать $$\frac{1}{\sin^5x}dx=\frac{\sin{x}}{(1-\cos^2x)^3}dx=-\frac{d(\cos{x})}{(1-\cos^2x)^3}$$

Answer 3

Вы рационализируете простую замену переменной $t:=\cos x$:

$$\int\frac{dt}{(1-t^2)^3}.$$

Разложение на частичную дробь

$$\frac3{16(1+t)}-\frac3{16(1-t)}+\frac3{16(1+t)^2}+\frac3{16(1-t)^2}+\frac1{8(1+t)^3}-\frac1{8(1-t)^3}$$ и не вызывает затруднений.

$$\frac3{16}\log(1-\cos^2x)-\frac3{8(1-\cos^2 x)}+\frac{1+\cos^2x}{8(1-\cos^2 x)^2}.$$

Answer 4

Вольфрам Альфа согласен с вами. Вы просто неправильно ввели коэффициенты при указании предполагаемой первообразной, которую вы хотели дифференцировать. Мне потребовалось некоторое время поэкспериментировать со скобками, чтобы понять исправленный запрос.

Answer 5

Я хотел бы предложить другой метод: формула приведения косеканса (вы знаете, что $1$ над синусом - функция косеканса):

$$\int \csc^m(x)\ \text{d}x = -\dfrac{\cos(x)\csc^{m-1}(x)}{m-1} + \frac{m-2}{m-1}\int \csc^{m-2}(x)\ \text{d}x$$

Используйте это дважды.

В процессе вам нужно будет интегрировать сам косеканс, который является хорошо известным интегралом:

$$\int \csc(x)\ \text{d}x = -\ln(\cot(x) + \csc(x))$$

И в итоге результат:

$$-\frac{1}{64} \csc ^4\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{3}{32} \csc ^2\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{64} \sec ^4\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{3}{32} \sec ^2\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{3}{8} \log \left(\sin \left(\frac{x}{2}\right)\right)-\frac{3}{8} \log \left(\cos \left(\frac{x}{2}\right)\right)$$