Следить за энтропиями

Question

Я изучаю взаимосвязь между функционалами трассировки энтропии и комбинаторикой и сталкиваюсь со следующей проблемой. Давайте$\mathcal {D}$ - следующий дифференциальный оператор $1 -x\cdot \cfrac{d}{dx}$ т.е. $\mathcal {D} g = g - x\cdot g'$.

Для $m\ge 0$ целое, если $\Phi_m(x) := x\cdot \log(x)^m$ тогда $\mathcal {D} \Phi_m(x) = -m\cdot \Phi_{m-1}(x)$ и (по крайней мере формально) для функции $g$ мы можем написать $g(x) = \sum\limits_{m\ge 0} g_m \cdot \Phi_m(x)$ где $$g_m = \cfrac{(-1)^m}{m!}\cdot \mathcal {D}^m g(x) |_{x=1}\;.$$

Я пытаюсь понять, что это за функции $g(x)$ может удовлетворять следующим условиям на $(0;1]$

Я) $g(x) \ge 0$, $g(0)=0$. (Позитивность)

II) $\mathcal {D}^2 g(x) \le 0$. (что-то подобное$\mathcal {D}$-вогнутость)

III) $\left(\mathcal {D}^2 - \mathcal {D}\right) g(x) \le 0$ (это стандартная вогнутость, выраженная оператором $\mathcal {D}$

IV) $\exists \ 0< \varepsilon \le 1$ такой, что $g(x) > -x^2\cdot \log(x) \quad \forall \ x \in (0;\varepsilon)$

V) $\exists \ a \in (0;\frac{1}{2}]$ такой, что $$g(a)+g(1-a) = -a\cdot \log(a) -(1-a)\cdot \log(1-a).$$

Если наложить только условия I), II) и III), будет много функций, им удовлетворяющих, но

1. добавление IV) Я не могу найти никакой функции, кроме следующей формы $g(x) = k\cdot x \cdot \log(x), \ k$ реальная константа (здесь $\varepsilon=1$). Обратите внимание, что$g$ не удовлетворяют V).

2. добавление IV) и V) Я не могу найти никакой другой функции, кроме следа энтропии Больцмана-Гиббса-Шеннона: $-x\cdot \log(x)$

Я «опасаюсь», что след энтропии Больцмана-Гиббса-Шеннона является единственной функцией, удовлетворяющей I) -V).

Заранее благодарим за любую точку зрения.

Answer 1

Для любой $c\in(0,\log2]$, функция $g$ определяется формулой $g(x)=cx$ для $x\in[0,1]$ удовлетворяет вашим условиям I) –V), но это не энтропийный след Больцмана – Гиббса – Шеннона.

---

Есть еще много функций $g$удовлетворяющие вашим условиям I) –V), которые не являются следом энтропии Больцмана – Гиббса – Шеннона. В частности, для любых$c_1\in(0,\log2)$, любая неотрицательная непрерывная функция $H$ на $[0,1]$, и любой достаточно маленький реальный $c_2\ge0$ а также $c_3\ge0$, функция $g$ определяется формулой $$g(x)=c_1x-c_2 x\log x-c_3 x\int_0^x du\,H(u)\log\frac xu$$ для $x\in[0,1]$ удовлетворяет вашим условиям I) –V), но это не энтропийный след Больцмана – Гиббса – Шеннона.