совершенно нормальное пространство

Question

Если $X$ хаусдорфово топологическое пространство, мы говорим, что $X$ совершенно нормально, если для каждого закрытого множества $A$, существует непрерывная функция $f_A:X\rightarrow[0,1]$ такой, что $f_A^{-1}(0)=A$.

Докажите, что совершенно нормальные пространства нормальны.

Мои усилия: предположим $A$ и $B$два непересекающихся замкнутых множества. Определить$g=\frac{f_A}{f_A+f_B}$. $g(x)=0$ если и только если $x\in A$, и $g(x)=1$ если и только если $x\in B$.

Пока я могу доказать $g:X\rightarrow [0,1]$непрерывно, я закончил. Но я не знаю, как показать непрерывность.

Answer 1

Другой способ - увидеть вашу карту $g$ как следующая композиция

$g=G\circ (f_A,f_B)$ где

$(f_A,f_B): X\to [0,1]\times [0,1]$

и

$G: E\subseteq [0,1]\times [0,1]\to [0,1]$

где $E=\{(x,y): x\neq 0 \textit{ or } y\neq 0\}$

И карта $G(x,y):= \frac{x}{x+y}$

это континуум в своей области. Эта карта является продолжением рассуждений Кави Рамы Мурти.

Answer 2

$f_A(x)+f_B(x) \geq 0$ и $f_A(x)+f_B(x) = 0$ если и только если $f_A(x)=f_B(x)=0$ если и только если $x \in A$ и $x\in B$что невозможно. Следовательно$g$представляет собой отношение двух непрерывных функций, знаменатель которого никогда не обращается в нуль. Отсюда следует, что$g$ непрерывно.