Спектр оператора на $\ell^2$

Question

Рассмотрим оператора $T:\ell^2 \to \ell^2$ определяется

$$T(x)=\left(0,0,\frac{x_2}{2^2},\frac{x_3}{2^3},\dots,\frac{x_n}{2^n}, \dots \right),\\ \forall x=(x_1,x_2,x_3,x_4, \dots, x_n, \dots) \in \ell^2$$

Я хочу определить его спектр $\sigma(T)$ но становится грязно.

---

Моя попытка: взять $x,y \in \ell^2$ и $(T-\lambda)x=y$, имеем следующие отношения:

$$-\lambda x_1=y_1 \\ -\lambda x_2=y_2\\ \frac{x_2}{4}-\lambda x_3=y_3\\ \frac{x_3}{8}-\lambda x_4=y_4\\ \vdots\\ \frac{x_n}{2^n}-\lambda x_{n+1}=y_{n+1} $$

из них у нас есть

$$x_1=-\frac{y_1}{\lambda}\\ x_2=-\frac{y_2}{\lambda}\\ x_3=-\frac{y_3}{\lambda}-\frac{y_2}{4\lambda^2}\\ x_4=-\frac{y_4}{\lambda}-\frac{y_3}{8\lambda^2}-\frac{y_2}{32\lambda^2}\\ \vdots$$

теперь я не знаю, как определить, $x \in \ell^2$.

Answer 1

Ваш оператор компактен, так как это предел конечного ранга. Таким образом, все ненулевые элементы спектра являются собственными значениями. Если$Tx=\lambda x$ с участием $\lambda\ne0$, тогда \begin{align} 0&=\lambda x_1,\\ 0&=\lambda x_2,\\ \frac{x_n^2}{2^n}&=\lambda x_{n+1},\qquad n>1. \end{align} Из $x_2=0$ это означает, что $x_n=0$ для всех $n$, так $\lambda$не может быть собственным значением. Таким образом$\sigma(T)=\{0\}$.