Степень сумм матриц

Question

Какова теория, лежащая в основе следующего выражения, где A + B представляет квадратные матрицы nxn

Я знаю, как это делается в алгебре, но как прийти к этому выражению? Очевидно, биномиальная теорема неверна.

Answer 1

Матрицы, вообще говоря, некоммутативны относительно умножения. Таким образом, порядок умножения должен сохраняться при раскрытии степеней сумм матриц.

$(A+B)^3$ действительно $(A+B)(A+B)(A+B)$, и расширение определяется путем выбора одного члена из каждого фактора и объединения их по порядку .

Answer 2

Это закон распределения, применявшийся множество раз. Для возведения во вторую степень и записи всех шагов:

$$(A+B)^2 = (A+B)(A+B) = A(A+B) + B(A+B) = AA + AB + BA + BB$$

Поскольку вы не можете заменить $BA$ с участием $AB$ для матриц (в общем) это все, что вы можете сделать с упрощением, за исключением сбора прогонов той же матрицы, что и степень (например, $AA = A^2$). Вы видите, как это будет работать, если умножить на$(A+B)$ Еще один раз?