Сумма по биномиальным коэффициентам

Question

Я хочу узнать, имеет ли следующая сумма закрытый вид: $$\sum_{j=0}^N{j+k-1\choose k-1}{N-j+k-1\choose k-1}$$

Я попытался переписать сумму так, чтобы можно было использовать следующую форму личности Вандермонда: $$\sum_{m=0}^n{m\choose j}{n-m\choose k-j}={n+1\choose k+1}$$ но я не мог прийти ни к какому результату.

Answer 1

Подсказка: у вас все хорошо! Используя то, что вы туда положили, вам понадобится$n-(j+k-1)=N-j+k-1$ подразумевает $n=N+2k-2$ и у вас также есть это $2k-2-(k-1)=k-1$ Так что возьми $k$ во втором уравнении быть $2k-2.$