суммируя этот биномиальный ряд

Question

Я нашел действительно интересный вопрос, который звучит так: докажите, что ценность $$\sum^{7}_{k=0}[({7\choose k}/{14\choose k})*\sum^{14}_{r=k}{r\choose k}{14\choose r}] = 6^7$$

мой подход:

Я попытался упростить самую внутреннюю сигму, а также попытался упростить, используя ${n\choose k}=n!/k!(n-k)!$ однако я не могу заполучить это.

Я предполагаю, что суммирование превращается в стандартный ряд, но я не могу сказать наверняка. Пожалуйста, помогите мне.

Answer 1

Во-первых, я не думаю, что ваша сумма верна. Границы внешней суммы должны быть $k=0$ к $7$, Я считаю, иначе значение не $6^7$. (Вопрос теперь исправлен)

Вы находитесь на правильном пути, и переписывание биномиальных коэффициентов в терминах факториалов поможет. Хотя факторы внутри суммы более$r$сами по себе не упростят. Решение состоит в том, чтобы довести фактор$1/\binom{14}{k}$во вторую сумму. Это дает нам$$ \left.\frac{r!}{k!(r-k)!}\frac{14!}{r!(14-r)!}\right/\frac{14!}{k!(14-k)!} = \frac{(14-k)!}{(r-k)!(14-k)!}\ . $$ Это можно распознать как $\binom{14-k}{r-k}$. Обратите внимание, что внутренняя сумма от$r = k$ к $14$, мы можем позволить $t = r-k$, и изменим границы на $0$ и $14-k$. Это превращает внутреннюю сумму в$$ \sum_{t=0}^{14-k} \binom{14-k}{t} = 2^{14-k}\ . $$ Теперь можно вычислить внешнюю сумму, $$ \sum_{k=0}^7 \binom{7}{k} 2^{14-k} = 2^7\sum_{k=0}^{7}\binom{7}{k} 2^{7-k} = 2^7(1+2)^7 = 6^7\ . $$

Answer 2

С помощью $${14 \choose r}{r \choose k} = {14 \choose k}{14-k \choose r-k}$$ данный сводится к

$$ \begin{align*} & \sum_{k=0}^7 {7 \choose k} \bigg\{\sum^{14}_{r=k} {14-k \choose r-k} \bigg\} \\ & = \sum_{k=0}^7 {7 \choose k} \{2^{14-k}\} \\ & = 2^{7} \times \sum_{k=0}^7 {7 \choose k} 2^{7-k} \\ & = 2^{7}\times(2+1)^{7} \\ & = 6^7 \end{align*} $$

Изменить: как указано @ElliotYu, внешняя граница должна быть от$0$ к $7$.

Answer 3

Настройка $n=7$ мы получаем \begin{align*} \color{blue}{\sum_{k=0}^n}&\color{blue}{\binom{n}{k}\binom{2n}{k}^{-1}\sum_{r=k}^{2n}\binom{r}{k}\binom{2n}{r}}\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{k!(2n-k)!}{(2n)!}\sum_{r=k}^{2n}\frac{r!}{k!(r-k)!}\,\frac{(2n)!}{r!(2n-r)!}\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\sum_{r=k}^{2n}\binom{2n-k}{r-k}\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{n }{k}\sum_{r=0}^{2n-k}\binom{2n-k}{r}\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}2^{2n-k}\\ &=2^{2n}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{1}{2^k}\\ &=2^{2n}\left(1+\frac{1}{2}\right)^n\\ &\,\,\color{blue}{=6^n} \end{align*} и утверждение следует.