Супремум $\sin(x) + \sin(\varphi x)$

Question

Позволять $\varphi$быть золотым сечением. Что такое супремум$f(x)=\sin(x) + \sin(\varphi x)$?

Моя идея заключалась в том, что мы можем рассмотреть последовательность функций $f_n(x) = \sin(x) + \sin(\frac{F_{n+1}}{F_n} x)$ для чисел Фибоначчи $F_n$, который сходится к $f(x)$. Последовательность$\{x_n\}_{n \geq 1}=F_n \pi + a_n$ удовлетворяет $f_n(x_n) = \sin(a_n) + \sin(F_n a_n)$, так что если мы выберем правильный $a_n$, тогда $f_n(x_n) =2$ $\forall n$; который меняет проблему на проблему с целым числом вместо$\varphi$, но я не уверен, что дальше.

Answer 1

Ясно, что сверху максимум ограничен $2$, поскольку каждый $\sin$ имеет максимум $1$.

Вы получаете максимум для первой функции, когда $\sin x = 1$ или же $x = 2 \pi k_1 + \pi/2$ для некоторого целого числа $k_1$, а также когда $\sin (\phi x) = 1$ или же $\phi x = 2 \pi k_2 + \pi/2$. Небольшая манипуляция дает:

$$k_1 = \frac{k_2}{\phi} - \frac{\phi - 1}{4 \phi}$$

Потому как $\phi$ не рационально, точно решить это уравнение для $k_1$ и $k_2$. Однако вы можете приблизить это произвольно близко, выбрав$k_2$ очень большой (например, $10^{1000}$) и решение для $k_1$. Таким образом вы сможете максимально приблизиться к$f(x) = 2$ как тебе нравится.