Теорема Мункреса ван Кампена

Question

Вышеупомянутая проблема содержится в упражнении по топологии Munkres 70.2. Я пытаюсь определить карту$\phi_2$. Моя попытка: сначала определить изоморфизм$\varphi:\pi_1(U\cap V)/N\to \pi_1(V)$ где $N:=ker(i_2)$. Затем определите$\phi_2$ от $\phi_2([f])=\phi_1(i_1(\varphi^{-1}([f])))$. Потом,$\phi_1(i_1([f]N))=\phi_1(i_1([f])i_1(N))=i_1([f])i_1(N)M=i_1([f])M$. Это действительно так?

Answer 1

Мне это кажется правильным. На последнем этапе вы используете это$i_1(N) \subset M$что является важнейшей информацией в этой проблеме. Идея, менее точно, состоит в том, чтобы использовать$$ \pi_1(V, x_0) \cong \pi_1(U \cap V, x_0)/N \xrightarrow{i_1} \pi_1(U, x_0)/M = H $$ где второе отображение индуцировано $i_1 : \pi_1(U \cap V, x_0) \to \pi_1(U, x_0)$ и существует потому что $i_1(N) \subset M$.

Это правильное решение, но я отмечу, что мне нравится думать об этом немного иначе. Теорема Ван Капена определяет$\pi_1(X, x_0)$ с объединенным бесплатным продуктом $G_1 *_H G_2$ где $G_1 = \pi_1(U, x_0)$ и $G_2 = \pi_1(V, x_0)$ и $H = \pi_1(U \cap V, x_0)$ (это в точности копредел диаграммы, записанной вами в категории групп).

Теперь предположим $H \to G_2$ сюръективно хорошо, должно быть "ясно", что $G_1 *_H G_2 = G_1 / \left< \ker{(H \to G_2)} \right> $ где $\left< \ker{(H \to G_2)}\right>$ нормальная подгруппа $G_1$ генерируется изображением в $G_1$ ядра $H \to G_1$. Почему это? Хорошо, если все в$G_2$ находится в образе $H \to G_2$ тогда это может быть "объединено" в $G_1$ и более того, слияние убивает все в $G_1$ что происходит от чего-то в $H$ отображение в ноль под $H \to G_2$. Если вы знакомы с теорией категорий, вы сможете показать, что когда$H \to G_2$ сюръективно, то $H \to G_1 \to G_1 *_H G_2$ делает $G_1 *_H G_2$ ядро $H \to G_1$ давая именно то, что вы хотите.