Вариант метрики
Я рассматриваю вывод уравнений поля Эйнштейна как уравнений Эйлера-Лагранжа для функционала Гильберта. Для этого нужно начать с вариации$$ g(t) = g+th $$ метрики, где $h$симметричный 2-ковариантный тензор. Для малых$t$, $g(t)$ будет обратимым (если интерпретировать его как матрицу), поэтому имеет смысл рассмотреть компоненты $g(t)^{ij}$обратного. У нас есть$$ 0 = \frac{d}{dt}\Big|_0 (g(t)_{ij} \, g(t)^{jk}) = h_{ij} g^{jk} + g_{ij}h^{jk} \quad\Rightarrow \quad h^{lk} = - g^{il} g^{jk} h_{ij}. $$ Мой вопрос: что именно делают коэффициенты$h^{lk}$ представлять?
Я всегда думал, что если есть, скажем, 1-ковариантный тензор $A = A_i dx^i$, тогда $A^i$ обозначим компоненты 1-контравариантного тензора $A^\#$(ср. музыкальные изоморфизмы ), задаваемые$A^i = g^{ij}A_j$. Но в формуле для$h^{lk}$ выше у нас также есть знак минус впереди, так что насколько я могу видеть коэффициенты $h^{lk}$ не получаются повышением индексов $h_{lk}$. При этом метрика на самом деле не фиксирована в этом случае, поэтому музыкальные изоморфизмы тоже не фиксируются, что может быть источником путаницы для меня.
Ответы
Ваша ошибка в том, что $$h^{jk} \neq \frac{d}{dt}\bigg|_{t=0} g(t)^{jk}.$$По факту, $h^{jk}$ будет получен от повышения обоих показателей$h_{jk}$. Вы показали, что$$\frac{d}{dt}\bigg|_{t=0} g(t)^{\ell k} = -g^{i\ell}g^{jk}h_{ij} = - h^{\ell k}.$$Его философия такова: вы знаете, что начальная скорость кривой $t\mapsto g(t)$ является $h$, и вы хотите вычислить начальную скорость других геометрических объектов, связанных с $g(t)$ с точки зрения $h$. Начальная скорость кривой обратных коэффициентов равна$-h$ (с точностью до музыкальных изоморфизмов).
Имея дело с коэффициентами, вы выполняете вычисления на матричных группах Ли. Там формула для производной обращения$\iota(A)=A^{-1}$ дан кем-то $d\iota_A(H) = - A^{-1}HA^{-1}$, так что все нормально (сравните с $(1/x)'=-1/x^2$и сделать его некоммутативным; каждый$A^{-1}$ соответствует поднятию одного индекса).