Вариант оператора Даламберта

Question

Я работаю в области квантовой теории гравитации с более высокой производной, и у меня проблемы с вариацией оператора Даламбера.

Предположим, у нас есть следующее действие: \ begin {уравнение} \ mathcal S [g] = \ int d ^ 4x \ sqrt {-g} R \: \ square ^ kR \ end {уравнение} При изменении этого по отношению к метрике чтобы найти соответствующие уравнения поля из вариационного принципа, нужно вычислить что-то вроде: \ begin {уравнение} \ delta \ left (\ square ^ kR \ right) \ end {уравнение} Или в простейшем случае: \ begin {уравнение} \ delta \ left (\ square R \ right) \ end {уравнение}

Может ли кто-нибудь помочь мне найти вариант этого термина?

Answer 1

Я бы вспомнил определение даламбертиана, действующего на какой-то скалярный $\phi$: $$\square \phi = g^{\mu\nu}\nabla_{\mu}\nabla_{\nu}\phi = \frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_{\mu}\left(\sqrt{-g}g^{\mu\nu}\partial_{\nu}\phi\right)$$Первое равенство - это просто определение, второе равенство - стандартное упражнение на курсах GR. Из курса GR вы также должны быть знакомы с различными$g$и т.д. Итак, отсюда вы должны уметь делать математику. Возможно, будет быстрее переписать действие, используя дифференциальные формы.

Кстати: Что означает индекс $k$ в ваших обозначениях?