Вопрос об асимптотах.

Question

Позволять $f(x) = 3\cdot\frac{x^4+x^3+x^2+1}{x^2+x-2}.$ Дайте многочлен $g(x)$ так что $f(x) + g(x)$ имеет горизонтальную асимптоту $0$ так как $x$ приближается к положительной бесконечности.

Я пробовал использовать это, если степень знаменателя больше степени числителя, горизонтальная асимптота $y = 0$, но я не мог никуда добраться. Как мне решить эту проблему?

Answer 1

Произведите евклидово деление числителя на знаменатель: $$x^4+x^3+x^2+1=(x^2+3)(x^2+x-2) -3x+7. $$ Мы выводим $$f(x)=3(x^2+3)+3\frac{-3x+7}{x^2+x-2}.$$ Доля стремится к $0$ так как $x\to\infty$, поэтому мы можем взять $\:g(x)=-3(x^2+3)$.

Answer 2

Лучший ответ: после полиномиального деления в столбик вы получите $f(x)=3x^2+9+\frac{-9x+21}{x^2+x-2}$. Обратите внимание, что третий член удовлетворяет вашему требованию горизонтальной асимптоты$0$, и поэтому вы позволяете $g(x)$ исключить левую часть, поэтому $g(x)=-3x^2-9$.

График: https://www.desmos.com/calculator/6ynoxvdfpe