Время Big Crunch

Question

Для плоской Вселенной, содержащей материю и космологическую постоянную, мы можем записать уравнение Фридмана следующим образом:

$$\frac{H^{2}}{H^{2}_{0}} = \frac{\Omega_{m,0}}{a^{3}} + (1 - \Omega_{m,0})$$

Я так понимаю, если второй член отрицательный ($\Omega_{m,0}>1$) то окончательная судьба Вселенной состоит в том, что она снова схлопнется в Большом Хрусте!

Я понимаю, что могу рассчитать максимальное значение коэффициента масштабирования, сделав $H^{2}=0$ и что я могу переписать приведенное выше уравнение как ОДУ с некоторой алгеброй, получив следующее выражение:

$$ H_{0}t = \int_{0}^{a} \frac{da}{(\Omega_{m,0}/a + (1 - \Omega_{m,0})a^{2})^{1/2}}$$

который связывает космическое время с масштабным фактором $a$. Тогда мой вопрос заключается в следующем: как я могу рассчитать время большого сжатия (например, время, которое у нас снова будет$a=0$?

Я думал, что это вдвое больший интеграл с верхним пределом, $a$ к которому у нас есть $H(t) = 0$, но для меня это не имеет большого смысла. Кроме того, во введении в космологию Барбары Райден говорится, что время, которое я ищу, будет (ур. 5.98):

$$ t_\text{crunch} = \frac{2\pi}{3H_{0}}\frac{1}{(\Omega_{m,0}-1)^{1/2}}$$

То, что я думаю, предполагает, что я пробую неправильный подход. Кто-нибудь может мне помочь? Как я могу найти это уравнение?

Answer 1

Этот интеграл имеет решение в замкнутой форме: $$H_0 t = \frac{2 \sinh^{-1} \left(\sqrt{\frac{1-Ω_{m,0}}{Ω_{m,0}}}\,a^{3/2}\right)}{3 \sqrt{1-Ω_{m,0}}} = \frac{2 \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{Ω_{m,0}-1}{Ω_{m,0}}}\,a^{3/2}\right)}{3 \sqrt{Ω_{m,0}-1}}.$$

Для повторно сжимающейся Вселенной это дает вам только расширяющуюся половину эволюции, которая заканчивается, когда арксинус достигает максимального значения $π/2$. Таким образом, общий возраст составляет$2 \frac{2 (π/2)}{3 \sqrt{Ω_{m,0}-1}}/H_0$.