Временная зависимость операторов

Question

Во введении Гриффитса в квантовую механику, изучая временную эволюцию математического ожидания положения, автор писал: $$\langle x\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}x|\Psi(x,t)|^2\,dx.$$

Так $$\frac{d\langle x\rangle}{dt}=\int x\frac{\partial}{\partial t}|\Psi(x,t)|^2\,dx.$$

Он просто предположил, что $x$не имеет временной зависимости? И почему?

Answer 1

Он просто предположил, что x не зависит от времени? И почему?

Да. Результат интеграла формы$$\int_{\mathbb{R}} f(x,t) \, dx \tag{1}$$ это функция времени $t$; то есть функция одной реальной переменной (или, грубо говоря, интеграл будет оценивать величину, которая не будет зависеть от$x$, только на $t$). Таким образом, при различении$(1)$, получится: $$\frac{\text{d}}{\text{d}t} \int_{\mathbb{R}} f(x,t) \, dx = \int \frac{\partial f}{\partial t}(x,t) \, dx$$как продиктовано Интегральной теоремой Лейбница (обратите внимание, что я сделал некоторые слабые предположения о поведении$f$, но тут не особого интереса). Тривиальное применение этого в$$\langle x \rangle := \int_{\mathbb{R}} x |{\Psi(x,t)}|^2 \, dx$$ дает желаемый результат.

Answer 2

Это две формулировки квантовой механики:

• Представление Шредингера . Временная эволюция кодируется в векторе состояния, волновая функция -$\Psi(x,t)$, а наблюдаемые (операторы) постоянны во времени
• Представление Гейзенберга . Теперь операторы развиваются во времени, а векторы состояния не зависят от времени и остаются фиксированными.

В случае взаимодействующих теорий существует гибридное представление взаимодействия . Здесь операторы эволюционируют с невзаимодействующим гамильтонианом$H_0$, а состояния эволюционируют через часть взаимодействия $H_I$.

Итак, в вашем случае автор использует представление Шредингера.