सकारात्मक जीनस फुचियान समूह

Question

चलो $G$ में एक जाली हो $SL(2,\mathbb{R})$। क्या यह हमेशा सही होता है कि एक परिमित सूचकांक उपसमूह मौजूद होता है$F$ का $G$ इस तरह कि भागफल सतह $\mathbb{H}/F$सकारात्मक जीनस है? क्या कथन कुछ सामान्य मान्यताओं के तहत सही है? क्या आप एक संदर्भ जोड़ सकते हैं?

Answer 1

हां, यह सच है, लेकिन यह साबित करना एक संदर्भ खोजने से ज्यादा आसान है।

1. प्रत्येक सूक्ष्मता से उत्पन्न मैट्रिक्स समूह (जैसे एक जाली में) $PSL(2, {\mathbb R})$एक मरोड़ मुक्त उपसमूह शामिल है। सामान्य परिणाम सेलबर्ग के कारण है, लेकिन असतत उपसमूह के लिए$PSL(2, {\mathbb R})$ यह निश्चित रूप से पहले जाना जाता था।

2. 1 के मद्देनजर, यह साबित होता है कि हर सतह $S$ 2-आयामी क्षेत्र के साथ होमियोमॉर्फिक $n\ge 3$ पंक्चर एक परिमित आवरण को स्वीकार करता है $S'\to S$ ऐसा है कि $S'$सकारात्मक जीनस है। मान लीजिए कि पहले$n$अजीब है। चारों ओर पंचर$p_i$ छोटे छोरों द्वारा $c_i$। मैं इनमें से तत्वों के रूप में सोचूंगा$H_1(S, {\mathbb Z}_2)$। अब, समरूपता पर विचार करें$$ \alpha: \pi_1(S)\to H_1(S, {\mathbb Z}_2)\to {\mathbb Z}_2$$ जहां पहला तीर Hurewicz और दूसरा भेजता है $[c_1], [c_2]$ सेवा $1$ और बाकी का $[c_i]$के लिए है $0$। 2-गुना कवर लें$S_1\to S$ की कर्नेल के अनुरूप $\alpha$। फिर$S_1$ है $2+ 2(n-2)$-टाइम्स पंचर हो गया गोला। इस प्रकार, समस्या पंक्चर की संख्या के साथ गोले के मामले में कम हो जाती है।

3. चलो $S$ हो $S^2$ साथ से $n=2k\ge 4$पंक्चर। इसी तरह, (2), समरूपता को परिभाषित करें$$ \beta: \pi_1(S)\to H_1(S, {\mathbb Z}_2)\to {\mathbb Z}_2 $$
   जहाँ दूसरा तीर सभी भेजता है $[c]_i$के nonzero तत्व के लिए है ${\mathbb Z}_2$। चलो$S'\to S$ के कर्नेल के अनुरूप 2-गुना कवर को निरूपित करें $\beta$। फिर$S'$ होगा $2k$ पंक्चर और जीनस $k-1>0$। (यह सतहों के टोपोलॉजी में एक व्यायाम है। प्राकृतिक विस्तार$S'\to S$कॉम्पैक्ट सतहों के एक ढके हुए आवरण को हाइपरलिप्टिक कवरिंग मैप कहा जाता है ।)

संपादित करें। 1. यदि आप एक संदर्भ चाहते हैं, तो एक इष्टतम परिणाम है

एडमंड्स, एलन एल।; इविंग, जॉन एच।; कुलकर्णी, रवि एस। , फुचियन समूहों के मरोड़ मुक्त उपसमूह और सतहों के टेसेलेशन, इन्वेंट। मठ। 69, 331-346 (1982)। ZBL0498.20033 ।

इसे इस प्रकार कहा जा सकता है: मान लीजिए कि $F_1, F_2$ में लैटिस हैं $G=PSL(2, {\mathbb R})$। फिर$F_2$ में एम्बेड करता है $F_1$ (एक सार समूह के रूप में) सूचकांक के साथ $k$अगर और केवल अगर रीमैन-हर्विट्ज की स्थिति संतुष्ट है:$$ \chi(F_2)/\chi(F_1)=k. $$
एक बार जब आप परिभाषाओं को खोल देते हैं, तो इसका अर्थ है सकारात्मक जीनस प्रश्न के सकारात्मक उत्तर।

1. उनके परिणाम को लागू करने के लिए, किसी को पता होना चाहिए (और वे इसे ले सकते हैं) कि हर जाली में $G$ की प्रस्तुति है $$ \langle a_1, b_1,...,a_p, b_p, c_1,...,c_r, d_1, ..., d_s| \prod_{i=1}^p [a_i, b_i] \prod_{j=1}^rc_i \prod_{k=1}^s d_k =1, c_1^{e_1}=...=c_s^{e_s}=1\rangle. $$यह प्रस्तुति फुकनियन फंक्शंस पर पॉइंकेयर के पेपर में मिल सकती है। चाहे उसके पास वास्तव में कोई प्रमाण हो, यह बताना कठिन है (यह बात पोइंटकेयर द्वारा लिखी गई हर बात पर लागू होती है, जिसे मैंने पढ़ने की कोशिश की, लेकिन अन्य लोग असहमत हो सकते हैं), लेकिन उसके पास परिणाम साबित करने के लिए एक उपकरण था, जिसका अर्थ है मौलिक डोमेन। एक और ठोस सबूत देहन के कागजात में पाया जाने की संभावना है (मैंने कोशिश नहीं की)। सबसे पहला ठोस संदर्भ मुझे पता है कि जाली के लिए एक परिमित उत्पादक सेट के अस्तित्व के लिए$\Gamma< G=PSL(2, {\mathbb R})$ है

सिएगल, कार्ल लुडविग , कुछ समूह , एन पर टिप्पणी करते हैं । मठ। (२) ४६, -०--18१ 70 (१ ९ ४५)। ZBL0061.04505 ।

अप्रत्याशित रूप से, सीगेल परिणाम को साबित करने के लिए मौलिक बहुभुज का उपयोग करता है: वह एक सूक्ष्म-पक्षीय मौलिक बहुभुज के अस्तित्व को साबित करता है और, परिणामस्वरूप, भागफल के क्षेत्र के संदर्भ में जनरेटर की संख्या पर एक स्पष्ट ऊपरी बाध्य निष्कर्ष निकाला है। ${\mathbb H}^2/\Gamma$। जुड़ा हुआ समूह में लैटिस के लिए यह परिमितता प्रमेय बहुत अधिक व्यापकता में है, लेकिन यह एक और कहानी है (यह भी जटिल इतिहास है कि यह स्पष्ट नहीं है कि किसके साथ यह स्पष्ट रूप से मौलिक, परिणाम है)। एक बात, कि मुझे यकीन नहीं है:

जबकि जुड़े हुए लाई समूहों में जाली के लिए परिमित उत्पादक सेटों का अस्तित्व ज्ञात है, मैं भागफल की मात्रा के संदर्भ में (गैर-मरोड़ मुक्त मामले में) जनरेटर की संख्या पर एक स्पष्ट ऊपरी सीमा के लिए एक ठोस संदर्भ नहीं जानता हूं। ।

1. "फेनचेल के अनुमान" के बारे में कि प्रत्येक जाली में $G=PSL(2, {\mathbb R})$परिमित सूचकांक के मरोड़ मुक्त उपसमूह में शामिल है: कहानी कुछ हद तक विचित्र है। जब अनुमान पहले कहा गया था, यह बताना मुश्किल / असंभव है। नीलसन के कागज में इसका उल्लेख है

जे। नीलसन, कोम फ्रूट produkt af cykliske grupper , Matematisk Tidsskrift के लिए Kommutatorgruppen । बी (1948), पीपी। 49-56।

निल्सन के कागज, उल्लेखनीय रूप से, कोई संदर्भ नहीं है।

हालांकि, नीलसन के कागज की उपस्थिति के समय तक, फेनचेल का अनुमान पहले ही साबित हो गया था। सबूत ज्यादातर में निहित है:

माल्टसेव, एआई , मैट्रिस द्वारा अनंत समूहों के वफादार प्रतिनिधित्व पर , एम। मठ। समाज।, अनुवाद।, द्वितीय। सेर। 45, 1-18 (1965); Mat से अनुवाद। एसबी।, एन सर्। 8 (50), 405-422 (1940)। ZBL0158.02905 ।

अब, प्रत्येक जाली $\Gamma< G=PSL(2, {\mathbb R})$ सूक्ष्मता से उत्पन्न होता है और इसमें केवल बहुत ही कम मात्रा में होता है $\Gamma$परिमित आदेश तत्वों की -conjugacy कक्षाएं। (यह, बहुत कम से कम, मूल पॉलीगोन पर सिएगल के प्रमेय से आता है, जैसा कि मैंने कहा, संभवतः पॉइनकेयर के लिए जाना जाता था।) माल्टसेव की प्रमेय का अर्थ है कि यदि।$\Gamma$ एक सूक्ष्मता से उत्पन्न मैट्रिक्स समूह है, फिर प्रत्येक परिमित संग्रह के लिए $\Gamma$-संस्कृति कक्षाएं $C_1,...,C_k$, वहाँ एक परिमित सूचकांक उपसमूह मौजूद है $\Gamma'< \Gamma$ से विमुख $C_1,...,C_k$। दो परिणामों को मिलाकर, हर जाली में$G=PSL(2, {\mathbb R})$ परिमित सूचकांक के मरोड़ मुक्त उपसमूह शामिल हैं।

फेनचेल के अनुमान के पूर्ण समाधान का दावा फॉक्स द्वारा किया गया था

फेनचेल के अनुमान के बारे में (एफ) -ग्रुप्स, मैट पर फॉक्स, राल्फ एच । Tidsskr। बी 1952, 61-65 (1952)। ZBL0049.15404 ।

जो माल्टसेव के कागज से स्पष्ट रूप से अनभिज्ञ था। फॉक्स का समाधान आंशिक रूप से गलत निकला, एक त्रुटि के साथ (मामलों में से एक में):

चाउ, टीसी , फेनचेल के अनुमान पर फॉक्स के पेपर से संबंधित एक नोट , प्रोक। हूँ। मठ। सोक। 88, 584-586 (1983)। ZBL0497.20035 ।

उस समय तक (23 साल पहले), सेलबर्ग ने एक और भी सामान्य परिणाम साबित किया:

सेलबर्ग, एटले , उच्च-आयामी सममित स्थानों में बंद समूहों पर, कंट्रिब। समारोह सिद्धांत, इंट। बोलचाल की भाषा। बॉम्बे, जनवरी 1960, 147-164 (1960)। ZBL0201.36603 ।

सेलबर्ग ने साबित किया कि प्रत्येक सूक्ष्मता से उत्पन्न मैट्रिक्स समूह में परिमित सूचकांक का मरोड़-मुक्त उपसमूह होता है। सेलबर्ग भी माल्टसेव के कागज से अनभिज्ञ थे, लेकिन कम से कम वह कुछ ऐसा नहीं दोहरा रहे थे जो पहले से ही था। बात यह है कि एक सूक्ष्मता से उत्पन्न मैट्रिक्स समूह$\Gamma$ असीम रूप से कई हो सकते हैं $\Gamma$इसलिए, परिमित उपसमूहों की एकरूपता कक्षाएं, केवल एक माल्टसेव के परिणाम को लागू नहीं कर सकती हैं।

Answer 2

मोशे कोहन के सबूत में चरण (1) पर एक टिप्पणी। यह समस्या (एक परिमित सूचकांक खोजने में, एक जाली के तंग-मुक्त उपसमूह में$\mathrm{PSL}(2, \mathbb{R})$) को "फेनचेल का अनुमान" कहा जाता था। इसका समाधान राल्फ एच। फॉक्स ने किया था। उसका कागज देखें:

एफ-समूह के बारे में फेनचेल के अनुमान पर

और बाद में काम (अन्य सबूतों के लिए, और पहले के कामों के सुधार के लिए)।