Perbedaan hyperreals dengan set

Question

Membiarkan $^\ast\mathbb{R}$ menjadi himpunan hyperreals, dibangun sebagai ultraproduk non-utama di atas real, dan biarkan $x\in {^\ast\mathbb{R}}$ dan $y\in {^\ast\mathbb{R}}$menjadi dua bilangan hyperreal yang berbeda. Apakah selalu ada satu set nyata$A\subset\mathbb{R}$ seperti yang $x \in {^\ast A}$ tapi $y\notin {^\ast A}$?

---

Masalah ini dapat dinyatakan tanpa menyebutkan hyperreals: Mari $\mathcal U$ menjadi ultrafilter (non-utama) aktif $\mathbb N$ dan biarkan $(x_n)$ dan $(y_n)$ menjadi urutan nyata seperti itu $\{n: x_n \neq y_n\} \in \mathcal U$. Apakah ada satu set$A \subset \mathbb R$ seperti yang $\{n: x_n \in A\} \in \mathcal U$, tapi $\{n: y_n \in A\} \notin \mathcal U$?

Saya hampir tidak tahu apa-apa tentang subjek tersebut, jadi saya hanya mengesampingkan dua pendekatan sederhana:

• Jika $N:=\{n: x_n \neq y_n\}$, kemudian $A := \{x_n: n\in N\}$ tidak harus seperti yang diminta: Pertimbangkan, misalnya, $(x_n) = (0,1,0,1,\dots)$ dan $(y_n) = (1,0,1,0,\dots)$ dengan $N = \mathbb N$ dan $A = \{0,1\}$. (Pendekatan ini dapat berguna jika ada beberapa yang "cukup kecil"$N\in \mathcal U$ seperti yang $x_n \neq y_n$ untuk semua $n\in N$.)
• Urutannya $(x_n) = (1/n)$ dan $(y_n) = (1/(n+1))$ bukan counterexample: Mari $E$ jadilah himpunan bilangan asli genap dan asumsikan, wlog, $E \in \mathcal U$. Membiarkan$A := \{1/n: n\in E\}$. Kemudian$\{n: x_n \in A\} = E \in \mathcal U$ dan $\{n: y_n \in A\} = \mathbb N\setminus E \notin \mathcal U$ (sejak $\mathcal U$ adalah ultrafilter).

Wawasan yang sesuai tentang hyperreals atau ultrafilter dipersilakan!

Answer 1

Misalkan kapanpun $x=\langle x_n:n\in\Bbb N\rangle$ dan $y=\langle y_n:n\in\Bbb N\rangle$ adalah urutan dalam $\Bbb N$ seperti yang $(\mathscr{U}n)(x_n\ne y_n)$, ada $A\subseteq\Bbb N$ seperti yang $(\mathscr{U}n)(x_n\in A)$ dan $(\mathscr{U}n)(y_n\notin A)$, dimana $(\mathscr{U}n)\varphi(n)$ menyingkat $\{n\in\Bbb N:\varphi(n)\}\in\mathscr{U}$, dan biarkan $x$ dan $y$menjadi sepasang urutan. Lalu ada$U\in\mathscr{U}$ seperti yang

$$\{x_n:n\in U\}\cap\{y_n:n\in U\}=\varnothing\,.\tag{1}$$

Melihat $x$ dan $y$ sebagai fungsi dari $\Bbb N$ untuk $\Bbb N$, kita bisa menulis ulang $(1)$ sebagai $x[U]\cap y[U]=\varnothing$. Membiarkan

$$\mathscr{X}=x(\mathscr{U})=\{X\subseteq\Bbb N:x^{-1}[X]\in\mathscr{U}\}$$

dan

$$\mathscr{Y}=y(\mathscr{U})=\{Y\subseteq\Bbb N:y^{-1}[Y]\in\mathscr{U}\}\,;$$

$\mathscr{X}$ dan $\mathscr{Y}$ adalah ultrafilter aktif $\Bbb N$, $x[U]\in\mathscr{X}$, dan $y[U]\in\mathscr{Y}$, jadi $\mathscr{X}\ne\mathscr{Y}$.

Jadi, $x(\mathscr{U})\ne y(\mathscr{U})$ kapanpun $x\ne y\pmod{\mathscr{U}}$, dan $\mathscr{U}$oleh karena itu, ultrafilter Hausdorff aktif$\Bbb N$. Sayangnya, dalam makalah di tautan Bartoszynski dan Shelah menunjukkan bahwa konsisten bahwa tidak ada ultrafilter Hausdorff pada$\Bbb N$, jadi paling tidak konsisten bahwa jawaban atas pertanyaan Anda adalah tidak .