Esercizio su Schwarz Lemma

Question

Questo è un exericse sul Lemma di Schwarz:

Permettere $\Omega \subseteq \mathbb{C}$ essere un dominio semplicemente connesso e $z_0 \in \Omega \neq \mathbb{C}$. Inoltre, lascia$f, g: \Omega \to \Omega$ biolomorfo tale che

\begin{align} f(z_0) = g(z_0), \qquad f'(z_0) = g'(z_0). \end{align}

Prova quello $f = g$.

Il suggerimento afferma di utilizzare il Lemma di Schwarz e il teorema di mappatura di Riemann. In effetti in seguito mi permette solo di usare il Lemma di Schwarz (in questo caso). Qualcuno potrebbe darmi un (secondo) suggerimento appropriato su come usare il Lemma di Schwarz per dimostrarlo$f = g$? Devo considerare l'utilizzo di$h:= f-g$?

Answer 1

Da $\Omega\subsetneq\Bbb C$ è semplicemente connesso, quindi dal teorema della mappatura di Riemann sappiamo che esiste $h:\Omega\to\Delta$ biolomorfo tale che $h(z_0)=0,\; h'(z_0)\neq0$, dove $\Delta$ è il disco aperto dell'unità.

Considera allora $$ F:=h\circ g^{-1}\circ f\circ h^{-1}\colon\Delta\to\Delta $$ che è un biolomorfismo tale che $F(0)=0$ e $|F(z)|<1$ su tutto $\Delta$; così da Schwartz Lemma otteniamo\begin{align*} &|F(z)|\le|z|\;\;\forall z\in\Delta. \end{align*} Schwartz si applica a $F^{-1}$ oltre a permetterci di raggiungere $|F^{-1}(w)|\le|w|\;\;\forall w \in\Delta$.

Dal momento che ogni $w\in\Delta$ può essere scritto come $F(z)$ per un unico $z\in\Delta$, noi abbiamo

$$ |z|\le|F(z)|\;\;\; \forall w\in\Delta $$ e quindi $$ |F(z)|=|z|\;\;\forall z\in\Delta. $$ Quindi Schwarz implica $F(z)=az$ per alcuni $a\in\Bbb C,\;|a|=1$.

Prendendo la derivata di quest'ultima a $0$ uno e sfruttando la tua ipotesi $f$ e $g$, hai capito $a=1$ e quindi $f=g$.

Answer 2

Suggerimento: qualsiasi mappa biolomorfa dal disco dell'unità $U$ su se stesso è della forma $z \to e^{i\theta} \frac {z-a}{1-\overline a z}$ dove $|a|<1$ e $\theta \in \mathbb R$. Se due di queste mappe hanno lo stesso valore e la stessa derivata a un certo punto, i valori di$\theta$ e $a$coincidono e le funzioni sono quindi uguali. Ora applica RMP per dimostrare lo stesso per qualsiasi regione semplicemente connessa$\Omega$ diverso da $\mathbb C$.