Funzione armonica e coniugato armonico

Question

Permettere $u:G\subset\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ una funzione armonica $v:G\rightarrow \mathbb{R}$ la funzione di coniugato armonico, con $G$un dominio. Prova che$u^2-v^2$ e $uv$ sono armonici senza derivati.

Prima di questo, l'ho dimostrato $u^2$ è armonico, se $u$è una funzione armonica. Allora l'ho pensato$u^2$ e $v^2$ sono funzioni armoniche, e volevo concludere che $u^2-v^2$ è una funzione armonica.

Tuttavia, questa interpretazione è sbagliata.

Grazie in anticipo

Answer 1

Da $v$ è un armonico coniugato a $u$, questo significa che la funzione $f=u+iv$ è olomorfo nel dominio $G$specificato. Tuttavia è facile dimostrare che se$f$ è olomorfo, quindi $f^2$è olomorfo e secondo le equazioni di Cauchy-Riemann, è reale e la sua parte immaginaria sono funzioni armoniche. L'espansione lo dimostra

$$f^2=(u+iv)^2=u^2-v^2+i(2uv)\equiv \Re f+ i \Im f$$

e quindi le funzioni $\Re f=u^2-v^2$ e $\Im f=2uv$ e sono armonici (ovviamente se $2uv$ è armonico anche allora $uv$ è).

Answer 2

Se $v$ è il coniugato armonico di $u$, poi

$f(z) = u(z) + iv(z) \tag 1$

è olomorfo; così è così$(f(z))^2$; adesso,

$(f(z))^2 = (u(z) + iv(z))^2 = u^2(z) - v^2(z) + 2iu(z)v(z); \tag 2$

da $u^2 - v^2$ e $2uv$ sono le parti reali e immaginarie di $f^2(z)$, sono armonici; $2uv$ armonico lo implica $uv$ è.

Nota Bene: se$u$ è armonico, quindi $u^2$ è armonico solo se e solo se $\nabla u = 0$, perché abbiamo

$\nabla u^2 = \nabla \cdot (\nabla u^2) = \nabla \cdot (2u\nabla u)$ $= 2\nabla u \cdot \nabla u + 2u\nabla \cdot \nabla u = 2\nabla u \cdot \nabla u + 2u\nabla^2 u = 2\nabla u \cdot \nabla u, \tag 3$

da

$\nabla^2 u = 0; \tag 4$

ci resta

$\nabla u^2 = 2\nabla u \cdot \nabla u; \tag 5$

quindi per armonico $u$, $u^2$ armonico è equivalente a

$\nabla u = 0, \tag 6$

questo è, $u$ è costante sui componenti collegati di $G$.

In questo argomento, ho usato la ben nota identità

$\nabla \cdot (u \nabla u) = \nabla u \cdot \nabla u + u \nabla \cdot \nabla u, \tag 7$

che si trova in molte fonti sull'operatore gradiente $\nabla$e identità di calcolo vettoriale; il lettore controlla su wikipedia o semplicemente su google per saperne di più. Fine della nota.