Área do subtriangulo dentro de um triângulo
Deixei $ABC$ seja um triângulo de área $a$. O segmento$\overline{AB}$ é dividido em $n$ pontos e segmento equidistantes $\overline{AC}$ é dividido em $m$pontos equidistantes. Encontre a área$b$ do triângulo $DEF$ em função da área $a$ (triângulo $ABC$), Onde $D$ é um dos pontos equidistantes do segmento $\overline{AB}$ e $E$, $F$ são dois dos pontos equidistantes no segmento $\overline{AC}$.
A imagem abaixo mostra um exemplo onde, $n=3$, $m=4$, $D=2$, $E=1$ e $F=2$. O triângulo vermelho representa a área a ser encontrada nas funções do triângulo maior.
Respostas
Este usa um teorema chinês cujo nome em inglês é aproximadamente Teorema da Cabeça de Pássaro, que nos diz que a área de $\triangle AXY$ dentro $\triangle ABC$ Onde $X$ está ligado $AB$ e $Y$ está ligado $AC$ é $[ABC]\cdot\frac{AX}{AB}\cdot\frac{AY}{AC}$. A prova disso é muito simples e deve fazer sentido intuitivamente se você considerar as proporções dos lados. Pode ser visto como uma generalização do fato de que quando$X$ e $Y$ são pontos médios, $XY$ é a linha média e $[AXY]=\frac14[ABC]$.
Isso torna o problema muito fácil e dá $[ABC]\cdot\frac{D}{n+1}\cdot\frac{F}{m+1}-[ABC]\cdot\frac{D}{n+1}\cdot\frac{E}{m+1}=\boxed{[ABC]\cdot\frac{D}{n+1}\cdot\frac{F-E}{m+1}}$
Dica: taxa de uso de áreas de$2$triângulos. Vamos usar seu diagrama para calcular a área vermelha e você pode generalizá-la facilmente. A área vermelha é a metade da área do triângulo cujos vértices em$0,2,2$ cuja área é novamente é $\frac{2}{5}$ área do triângulo cujos vértices estão em $0,2,5$ e por sua vez, cuja área é a metade da área do triângulo cujos vértices estão em $0,4,5$. Espero que ajude.
Sem perda de generalidade, podemos assumir que $F$ encontra-se entre $A$ e $E$. Lembre-se de que uma área de um triângulo é a metade de um produto do comprimento dos lados adjacentes pelo seio do ângulo entre esses lados. Portanto, uma vez que os triângulos$DEF$ e $DEA$ tem um ângulo comum $\angle E$ e lado comum $DE$, suas áreas se relacionam como os lados adjacentes ao ângulo $\angle E$, isso é $\frac{\operatorname{area}(\triangle DEF)}{\operatorname{area}(\triangle DEA)}=\frac{EF}{EA}$. Também desde triângulos$DAE$ e $BAC$ tem um ângulo comum $\angle A$, $\frac{\operatorname{area}(\triangle DAE)}{\operatorname{area}(\triangle BAC)}=\frac{DA}{AB}\cdot\frac{AE}{AC}$. Finalmente,$$b=\operatorname{area}(\triangle DEA)=\frac{EF}{EA}{\cdot\operatorname{area} (\triangle DEA)}=\frac{EF}{EA}\cdot\frac{DA}{AB}\cdot\frac{AE}{AC}\cdot {\operatorname{area}(\triangle BAC)}= \frac{EF}{EA}\cdot \frac{DA}{AB}\cdot\frac{AE}{AC}\cdot a.$$
Os pontos são canonicamente rotulados de forma que $B \le D \le C$. Isso significa se$D > C$, trocamos os rótulos antes de aplicar a seguinte lógica.
Usando a fórmula do lado do ângulo lateral, calculamos a área de $\triangle ABD$ Como
$$x = { AB \times BD \times sin(\theta) \over 2}$$
Área de $\triangle ABC$:
$$y = { AB \times BC \times sin(\theta) \over 2}$$
Área de $\triangle ADC = y – x$, dado por
$$y - x = { { AB \times BC \times sin(\theta) \over 2} - { AB \times BD \times sin(\theta) \over 2} } = {{AB sin(\theta)} \times (BC - BD) \over 2}$$
Proporção de áreas ($\triangle ADC$ / $\triangle ABC$) É dado por
$$BC - BD \over BD$$
Isso é verdade quando $BC - BD > 0$. Quando$BC - BD = 0$, a $\triangle ADC \cong \triangle ABC$ e a proporção é $1$.
Percebo que usei uma nomenclatura diferente para os triângulos do que o OP havia usado na definição do problema e também o fato de que o maior triângulo tem área $a$. Para consistência na prova, deixe-me chamar o triângulo externo de$\triangle A'BC'$ (área $= a$) Usando os mesmos princípios descritos acima para calcular a proporção de áreas de triângulos, a proporção de Área de$\triangle A'BC'$ e área de $\triangle ABC$ É dado por
$$A'B \times BC' \over AB \times BC$$
Proporção de áreas ($\triangle ADC$ / $\triangle A'BC'$) É dado por
$${BC - BD \over BD} \div {A'B \times BC' \over AB \times BC}$$
$\therefore$, Área $\triangle ADC$ É dado por
$${BC - BD \over BD} \times {AB \times BC \over A'B \times BC'} \times a$$
Substituindo $A'B = 4$ e $BC' = 5$, Nós temos
Área $\triangle ADC$
$$ = \big( {BC - BD \over BD}\big) \times {AB \times BC \over 4 \times 5} \times a$$
Conforme mencionado anteriormente, isso é verdade quando $BC - BD > 0$. Quando$BC - BD = 0$, a $\triangle ADC \cong \triangle ABC$ e a proporção (dada entre parênteses) é $1$.
Nota: Apenas para lembrar, os lados são indicados na figura desta resposta (que são ligeiramente diferentes da nomenclatura usada pelo OP).