Da desintegração ao condicionamento
Há um artigo "Condicionamento como desintegração" por JT Chang e D. Pollard , que parece construir a probabilidade condicional regular a partir da desintegração . Em particular, a partir da Definição 1, Teorema 1 e Teorema 2. (iii) nesse artigo, podemos resumir um teorema da seguinte forma:
Teorema. Deixei$\Omega$ ser um espaço polonês, $\mathcal F = \mathcal B(\Omega)$ seja o borel $\sigma$-field para $\Omega$e $\mathbf P$ ser uma medida de probabilidade em $(\Omega,\mathcal F)$. Deixei$(E,\mathcal E)$ ser um espaço mensurável, com $\mathcal E$gerado de forma contável e contendo todos os conjuntos de singleton. Deixei$X:(\Omega,\mathcal F) \to (E,\mathcal E)$ser um elemento aleatório. Denotado por$P_X := X_*\mathbf P = \mathbf P\circ X^{-1}$ a medida pushforward de $X$ em $(E,\mathcal E)$. Então há uma família$\{\mathbf P^x\}_{x\in E}$ de medidas de probabilidade em $(\Omega,\mathcal F)$, de tal modo que:
- Para cada $x\in E$, a medida de probabilidade $\mathbf P^x$ concentra-se no evento $\{X = x\}$.
- Para todos $A\in\mathcal F$, o mapeamento $\mathbf P^\cdot(A): (E,\mathcal E)\to [0,1]$ é mensurável.
- Para todos $A\in\mathcal F$ e $B\in\mathcal E$, \ begin {equation} \ mathbf P \ left (A \ cap X ^ {- 1} (B) \ right) = \ int_B \ mathbf P ^ x (A) P_X (dx). \ end {equation} Além disso, a família$\{\mathbf P^x\}_{x\in E}$ é determinado exclusivamente até uma equivalência quase certa: se $\{\mathbf Q^x\}_{x\in E}$ é outra família de medidas de probabilidade $(\Omega,\mathcal F)$que satisfaça as condições acima, então \ begin {equation *} P_X \ {x \ in E: \ mathbf P ^ x \ ne \ mathbf Q ^ x \} = 0. \ end {equation *}
Aqui está o problema .
Considere o caso especial de $E=\Omega$ e $\mathcal E$ é um sub-$\sigma$-Campo de $\mathcal F$que contém todos os singletons. Desde a$\Omega$ é a segunda contável, seu Borel $\sigma$-campo $\mathcal F$deve ser gerado de forma contável e conter todos os singletons . Como um sub-$\sigma$-Campo de $\mathcal F$, $\mathcal E$também é gerado de forma contável. Deixei$X = \mathrm{Id}$. Então$P_\mathrm{Id} = \mathbf P$ e $\sigma(\mathrm{Id}) = \mathcal E$. Agora todas as suposições do teorema estão cumpridas. Portanto, temos um$\mathbf P$- uma família única de medidas de probabilidade $\{\mathbf P^\omega\}_{\omega\in\Omega}$ em $(\Omega,\mathcal F)$ satisfatório:
- Para cada $\omega\in\Omega$, a medida de probabilidade $\mathbf P^\omega$ concentra-se no singleton $\{\omega\}$.
- Para todos $A\in\mathcal F$, o mapeamento $\mathbf P^\cdot(A): (\Omega,\mathcal E)\to [0,1]$ é mensurável.
- Para todos $A\in\mathcal F$ e $B\in\mathcal E$, \ begin {equation} \ mathbf P \ left (A \ cap B \ right) = \ int_B \ mathbf P ^ \ omega (A) \ mathbf P (dx). \ end {equation}
As afirmações 2 e 3 são completamente iguais à formulação da probabilidade condicional , ou seja,$\mathbf P^\omega(A) = \mathbf P(A\mid \mathcal E)(\omega)$. No entanto, se os combinarmos com a afirmação 1, haverá algo muito estranho. Na verdade, desde$\mathbf P^\omega$ concentra-se em $\{\omega\}$, temos $\mathbf P^\omega(A) = \mathrm{1}_A(\omega)$ para todos $A\in\mathcal F$, embora isso deva valer apenas para $A\in\mathcal E$ Desde a $\mathbf P^\omega$ é a probabilidade condicional pela afirmação 3. Além disso, o mapeamento $\mathbf P^\cdot(A) = \mathrm{1}_A: (\Omega,\mathcal E)\to [0,1]$ é mensurável apenas para $A\in\mathcal E$, mas não para todos $A\in\mathcal F$ reivindicado na declaração 2.
Então, onde isso dá errado? Quaisquer comentários ou sugestões serão apreciados. TIA ...
EDIT: Aqui estão mais alguns comentários:
- Eu apenas afirmei que "como um sub-$\sigma$-Campo de $\mathcal F$, $\mathcal E$também é gerado de forma contável ". Isso está errado. Veja, por exemplo, aqui um contra-exemplo.
- Graças ao comentário de @aduh, o problema se reduz a se deve ser $\mathcal E = \mathcal F$? ou existe um sub-$\sigma$-Campo de $\mathcal F$que é gerado de forma contável e contém todos os singletons? Eu postar isso como uma outra questão em Math.SE .
Conclusão: sob minhas suposições,$\mathcal E$ deve coincidir com $\mathcal F$. Portanto, o problema é trivial. Veja a resposta aceita dada por @GEdgar em "outra pergunta" que mencionei para mais detalhes.
Respostas
Eu posto aqui uma resposta pela integridade.
Conforme dito na parte de Conclusão ao final da pergunta, podemos provar$\mathcal E = \mathcal F$seguindo as falas de @GEdgar . Mais precisamente, podemos provar o seguinte teorema:
Teorema. Deixei$\Omega$ ser um espaço polonês, $\mathcal F=\mathcal B(\Omega)$ seja o borel $\sigma$-field para $\Omega$. E se$\mathcal E\subset \mathcal F$ é um sub-$\sigma$-campo contendo todos os conjuntos singleton, então $\mathcal E = \mathcal F$.
O teorema é trivial, desde que conheçamos o seguinte lema, que é adaptado do Teorema 3 e do Teorema 1 do artigo de D. Blackwell "Em uma classe de espaços de probabilidade" , bem como os dois fatos de que um espaço polonês é analítico e que os átomos em um espaço polonês nada mais são do que singletons.
Lema. Deixei$\Omega$ ser um espaço polonês, $\mathcal F=\mathcal B(\Omega)$ seja o borel $\sigma$-field para $\Omega$. E se$\mathcal E\subset \mathcal F$ é um sub-$\sigma$-field, então um conjunto $A\in\mathcal F$ pertence a $\mathcal E$ se e apenas se $A$ é uma união de singletons.