Desigualdade sobre função simétrica elementar

Question

Para qualquer número fornecido $\{x_1,...,x_n\}$, a k-ésima função simétrica elementar é $$ E_k=\sum_{1\le i_1<...<i_k\le n} x_{i_1}x_{i_2}...x_{i_k},~~~~~~~k=1,...,n. $$ Eu acho que $E_k$ pode ser controlado por $E_1$ e $E_n$, ou seja, existem funções adequadas $f,g$ de tal modo que $$ g(E_1,E_n) \le E_k \le f(E_1,E_n), ~~~~~~~~~\forall k=1,...,n. $$Mas não consigo encontrar funções adequadas, por isso espero obter ajuda aqui. Obrigado por qualquer dica ou resposta.

PS: $x_i$ pode não ser positivo.

Answer 1

O controle, sobre o qual você diz, podemos obter, se houver $x_i\geq0$.

Se sim, deixe $e_k=\sqrt[k]{\frac{\sum\limits_{1\leq i_1<i_2<...<i_k\leq n}x_{i_1}x_{i_2}...x_{i_k}}{\binom{n}{k}}}.$

Assim, pelo teorema de Rolle, podemos provar que: $$e_1\geq e_2\geq...\geq e_n.$$ Daqui para qualquer $k\in\{1,2,...,n\}$ nós obtemos: $$e_1\geq e_k\geq e_n.$$ Para $n\geq4$ e variáveis ​​reais $x_i$ existe o seguinte.

Deixei $e_4^4=\frac{\sum\limits_{1\leq i_1<i_2<i_3<i_4\leq n}x_{i_1}x_{i_2}x_{i_3}x_{i_4}}{\binom{n}{4}}$, $e_3^3=\frac{\sum\limits_{1\leq i_1<i_2<i_3\leq n}x_{i_1}x_{i_2}x_{i_3}}{\binom{n}{3}}$, $e_2^2=\frac{\sum\limits_{1\leq i_1<i_2\leq n}x_{i_1}x_{i_2}}{\binom{n}{2}}$ e $e_1=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n},$ Onde $e_4^4$ e $e_2^2$ podem ser negativos.

Portanto, a seguinte desigualdade se mantém: $$e_4^4\geq4e_1e_3^3-3e_2^4.$$