Máximo de partições definidas

Question

Deixei $A\neq \varnothing$ e denotar por $\operatorname{Part}(A)$ o conjunto de partições de $A$. Para$S,S' \in\operatorname{Part}(A),$ montamos $$ S\leq S' :\!\!\iff \forall C \in S: \exists C'\in S': C\subseteq C'. $$

Deixei $T\subseteq \operatorname{Part}(A)$. Mostra isso$T$ tem um mínimo em relação a $\leq$.

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Eu realmente gostaria de mostrar que $$ \inf T = \left\{\bigcap_{S\in T} C_S\neq \varnothing : \forall S \in T, C_S\in S\right\}. $$

Posso escrever isso sem usar o Axioma da Escolha?

Se não, que outra maneira há de provar a existência de $\inf T$, se houver algum?

Answer 1

ESBOÇO: Para cada $S\in\operatorname{Part}(A)$ e $a\in A$ deixei $[a]_S$ ser parte de $S$ Isso contém $a$. Observe aquilo$S\le S'$ sse $[a]_S\subseteq[a]_{S'}$ para cada $a\in A$. Dado$T\subseteq\operatorname{Part}(A)$, para cada $a\in A$ deixei $C_a=\bigcap_{S\in T}[a]_S$, e deixar $C=\{C_a:a\in A\}$.

• Mostra isso $C\in\operatorname{Part}(A)$. Está claro que$\bigcup C=A$, então você só tem que mostrar que se $a,b\in A$e $C_a\ne C_b$, então $C_a\cap C_b=\varnothing$.

Claramente $C_a\subseteq[a]_S$ para cada $S\in T$, então, neste ponto, você pode concluir que $C\le S$ para cada $S\in T$.

• Então mostre que se $L$ é um limite inferior para $T$, então $L\le C$. Você pode fazer isso mostrando que se$L$ é um limite inferior para $T$, então deve ser verdade que $[a]_L\subseteq C_a$ para cada $a\in A$.

Nada disso requer o axioma da escolha.

Answer 2

Deixei $X=\left\{\bigcap_{S\in T} C_S\neq \varnothing : C_S\in S\right\}.$ Observe aquilo $X\in\operatorname{Part}(A)$.

Em primeiro lugar, mostramos que $X\le S$, para todos $S\in T$. Deixei$L\in X$, então $L=\bigcap_{S\in T} C_S$, com $C_S\in S$. Obviamente,$L\subseteq C_S$ para todos $S\in T$, isso significa que $X\le S$ para todos $S\in T$. então$X$ é um limite inferior.

Agora vamos mostrar isso $X$ é o maior limite inferior, ou seja, para todos $Y\in\operatorname{Part}(A)$ de tal modo que $Y\le S$ para todos $S\in T$, $Y\le X$. Suponha$Y$ é um desses elementos, e vamos $M\in Y$. Agora porque$Y\le S$, para todos $S\in T$, temos $M\subseteq C_S$, para alguns $C_S\in S$, para todos $S\in T$. Obviamente$M\subseteq\bigcap_{S\in T}C_S$e $\bigcap_{S\in T}C_S\in X$. então$Y\le X$e $X$ é o ínfimo de $T\subseteq\operatorname{Part}(A)$.