Mazur e coletores contráteis
Um manifold Mazur é uma estrutura contrátil, compacta, suave$4$-variedade com limite uma homologia $3$-esfera.
É construído a partir de um único $0$-handle, um único $1$-alça e única $2$-lidar com. É equivalente que o$4$-variedade deve ser da forma $\displaystyle S^{1}\times D^{3}$ união a $2$-lidar com. (Alças são todas$4$. dimensional) A imagem seguinte é de Akbulut e Durusoy papel :
Aqui, $W$ é um Mazur múltiplo com a esfera de Brieskorn de limite $\Sigma(2,5,7)$. O círculo pontilhado escuro mostra o$1$-alça que pode ser desenhada como $0$-framing unknot.
T1. Somos livres como nos ligamos$2$- alças para $S^1 \times D^3$?
2º trimestre. Por exemplo, a imagem a seguir descreve um manifold Mazur?
São contraíveis $4$-variedades construídas com um $0$-alça, dois $1$- alças e dois $2$-handles. Eles são os exemplos de Stern .
3º trimestre. Sabemos a classificação de contratáveis$4$-variedades em termos de seus números de alça?
Respostas
Sobre a terminologia: a Wikipedia define um manifold de Mazur como um manifold de 4 esferas compacto e contrátil que não é difeomórfico ao de 4 esferas. (Segue-se desta definição que o limite de tal variedade é automaticamente uma esfera de homologia integral.) Também diz que frequentemente a definição é restrita a variedades construídas com apenas uma alça de cada índice 0, 1 e 2. Vou colar a esta última definição, para consistência com sua (s) pergunta (s).
O que Anubhav se refere em seu comentário é uma restrição adicional, mas eu não a colocaria na definição de uma variedade de Mazur (mas sim falaria de uma rolha de Mazur, se você tiver tal involução).
Agora que todos concordamos com os objetos, vamos às perguntas.
T1. Não, não somos livres. Suponha que você tenha uma apresentação de um manifold de 4$W$com uma alça de 1 e uma de 2 alças. O identificador 1 fornece um gerador na apresentação do grupo fundamental do manifold de 4, e o círculo de fixação do identificador 2 fornece uma relação (que é a única relação, já que você só possui um identificador 2) . Se você quer o grupo fundamental de$W$para ser trivial, é melhor você ter que a relação mata o gerador, o que se traduz no círculo anexando gerando a homologia de$S^1\times S^2$. Diagramaticamente, você está pedindo que o número de ligação entre o círculo pontilhado e o nó emoldurado seja ± 1.
Esta é quase a única restrição, exceto que você precisa verificar se o manifold de 4 não é o de 4 esferas, mas segue da propriedade R que existe apenas um desses nós. Na verdade, essa é uma boa transição para a pergunta 2.
2º trimestre. Não, não são variedades de Mazur. Mesmo interpretando o identificador 2 com moldura 0 como um identificador 1 (caso contrário, você nem mesmo tem os grupos de homologia corretos), isso é apenas$B^4$: o punho de 2 cancela geometricamente o punho de 1.
3º trimestre. Eu duvido muito, e não acho que a pergunta possa ter uma "boa resposta". Essas questões sobre manifolds 4 são geralmente incrivelmente difíceis.