Prova de limite de cadeia de Markov

Question

Primeiro, desculpe pelo meu péssimo inglês. Estou tendo problemas para provar este exercício (veio de algumas anotações que fiz na universidade, estou estudando para meu mestrado no próximo ano).

Deixei $X$ ser uma cadeia de Markov irredutível aperiódica em um espaço de estado finito $S$. Deixei$\pi$ser uma medida estacionária. Presumir$X$ começou às $\pi$. Deixei$a,b \in S$. Mostre que:

$\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(X_0=a, X_n=b) = \pi(a)\pi(b)$

Eu tentei muitas coisas, incluindo acoplamentos, mas não consegui descobrir. Quaisquer dicas e ajuda seriam ótimas. Obrigado!

Answer 1

Você não pode apenas escrever \begin{align} \mathbb P(X_0 = a, X_n = b) &= P(X_0 = a) P(X_n = b \vert X_0 = a) \\ &= \pi(a) P^n_a(b), \end{align} Onde $P^n_a$ é o $n$-step kernel da cadeia de Markov começou em $a$, e você assume que $X_0$ é tirado de $\pi$. Por irredutibilidade e aperiodicidade, este kernel converge para a medida estacionária no limite, então você apenas obtém$$ \lim_{n \rightarrow \infty} P^n_a(b) = \pi(b),$$e o resultado segue. o que estou perdendo?