Beweis für $\max(A+B) = \max(A) + \max(B)$ richtig?

Question

Hallo, ich versuche folgendes zu beweisen: Let $A, B \subset \mathbb {Q}$ und $A+B = \{a+b: a\in A, b \in B\}$.

Annehmen $\max(A)$ und $\max(B)$ existieren, zeigen Sie das $\max(A+B)$ existiert auch und das

$$\max(A+B)= \max(A) + \max(B)$$

Ich habe den folgenden Beweis, dass ich nicht sicher bin, ob er korrekt ist:

Die reelle Zahl $\max(A) + \max(B) \geq x$ für alle $x \in A+B$

Schon seit $\max(A) \in A$ und $\max(B) \in B$ Die Definition von $A+B$ Das $\max(A+B) \in A+B$ hält.

Nun lass $x \in A+B$. $\Rightarrow$ es gibt $a \in A$ und $b \in B$ so dass $x = a+b$

Nach der Definition von $\max$ jedoch, $\max(A) \geq a$ und $\max(B) \geq b$.

Deshalb $\max(A) + \max(B) \geq a+b = x$

Ist dieser Beweis richtig?

Answer 1

Ihr Beweis ist korrekt, aber etwas überflüssig. Das hast du gezeigt$\max(A)+\max(B) \ge x$ für alle $x \in A+B$und du hast erklärt wie $\max(A)+\max(B) \in A+B$. Dies reicht aus, um zu zeigen, was wir brauchen, da wir eine Obergrenze für gefunden haben$A+B$ das gehört auch dazu $A+B$Daher ist es das Maximum.