初期データのパラメータに関するコーシー問題

Question

検討する

\ begin {cases} y '= y ^ {\ frac {1} {3}} \\ y（0）= k \ in \ mathbb {R} \ end {cases}

• のどの値に対して $k$ 問題には独自のローカルソリューションがありますか？
• 他の値についてはそれを示してください $k$ 問題には複数の解決策があります

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私） $f(t,y)=y^{\frac{1}{3}}$ 上の連続関数です $\mathbb{R}^2$、ながら $f_y=-\frac{2}{3 y^{2/3}}$ これはで不連続です $0$。したがって、の任意の近隣で$(0,k)$ と $k\ne0$、 $f_y$ は継続的であるため、ソリューションのローカルな存在と独自性があります。

ii）最初に私は注意します $f(t,y)$リプシッツではないので、独自性は期待していません。確かに、$k=0$、 $y(t)=0$ は解決策であり、統合によって私も見つけました $$y(t)=\sqrt{\Bigl( \frac{3t}{2} \Bigr)^3}$$

**すべてが正しいですか？****

Answer 1

最初の部分は正しく、2番目の部分は正しくありません。しかし、あなたは良い考えを持っていました。

$y(t)=\sqrt{\big(\frac{3t}{2}}\big)^3=\Big(\frac{3t}{2}\Big)^\frac{3}{2}$ その後 $y'(t)=\frac{3}{2}\times\Big(\frac{3t}{2}\Big)^\frac{1}{2}\times\frac{3}{2}=\frac{3^2}{2^2}\times y^\frac{1}{3}\neq1\times y^\frac{1}{3}$。

今考えてください $y(t)=\sqrt{\big(\frac{2t}{3}}\big)^3$ それを確認してください $y'=y^\frac{1}{3}$。