Deixe o círculo tocar$AB$e$AC$no$F$e$E$. Deixar$C \cap FE=L$e$BI \cap EF= N$. Mostre que$B,L,N,C$é cíclico.

Question

Deixar$ABC$seja um triângulo com I como o incentro e deixe o incircle tocar$AB$e$AC$no$F$e$E$. Deixar$C\cap FE=L$e$BI\cap EF= N$. Mostre que$B,L,N,C$é cíclico.

Agora, não obtive nenhum progresso significativo, mas aqui estão minhas observações:

• $BLNC$é cíclico, situado no círculo com diâmetro$ BC$
• $FLIB$e$NIEC$também são cíclicos.

Eu acho que esta questão é facilmente bashable, mas eu quero obter uma prova sintética.

Desde já, obrigado !

Answer 1

Alegar. $\angle BLI=90$

Prova de reivindicação. é o suficiente para mostrar$BFLI$é cíclico onde$D=\odot(I)\cap BC$. Para isso, observe que$$\angle LDB=\pi - \angle LDC=\pi - \angle LEC=\angle AEF=\angle AFE$$Desta forma,$BFLI$é cíclico. Isso completa a prova de reivindicação.

Da mesma forma, obtemos,$\angle BLC=90=\angle BNC$assim$BLNC$é cíclico com$BC$como diâmetro.

Answer 2

Sabendo como provar isso$FLIB$e$NIEC$são cíclicos, você está mais do que meio caminho resolvido.

você precisa provar$\angle LBN=\angle LCN$(então$BLNC$é cíclico).
Mas$\angle LBI=\angle LFI$desde$BFLI$é cíclico, da
mesma forma$\angle ICN=\angle IEN$desde$NIEC$é cíclico.

Então você precisa provar$\angle IFE=\angle IEF$mas é verdade desde$\triangle IEF$é isósceles --$IF=IE$são raios internos.