Em trapézio $ABCD$, $AB \parallel CD$ , $AB = 4$ cm e $CD = 10$ cm.

Question

Em trapézio $ABCD$, $AB \parallel CD$ , $AB = 4$ cm e $CD = 10$cm. Suponha que as linhas$AD$ e $BC$ cruzam em ângulos retos e as linhas $AC$ e $BD$ quando estendido no ponto $Q$ formar um ângulo de $45^\circ$. Calcule a área de$ABCD$.

O que eu tentei : - Aqui está a imagem: -

Agora, para encontrar a área de $ABCD$, Só preciso descobrir sua altura, mas não consigo encontrar.

Eu posso ver isso $\Delta AOB \sim \Delta COD$. Assim :-$$\frac{AB}{CD} = \frac{AO}{OD} = \frac{BO}{OC} = \frac{2}{5}$$ Então eu assumi $AO = 2x$ , $BO = 2y$ , $CO = 5y$ , $DO = 5x$.
Agora em$\Delta AOB$, pelo Teorema de Pitágoras: -
$AO^2 + OB^2 = AB^2$
$\rightarrow 4x^2 + 4y^2 = 16$
$\rightarrow x^2 + y^2 = 4$

Além disso $\Delta QAB \sim \Delta QDC$. Assim:-$$\frac{QA}{AC} = \frac{QB}{BD}$$
eu recebo $AC$ e $BD$ pelo Teorema de Pitágoras novamente, o que me dá: - $$\frac{QA}{\sqrt{4x^2 + 25y^2}} = \frac{QB}{\sqrt{25x^2 + 4y^2}}$$

Não sei como proceder a seguir, pois este resultado só me dá aquele $\left(\frac{QA}{OB}\right)^2 = \frac{21y^2 + 16}{21x^2 + 16}$. Além disso, não consegui pensar em nenhuma maneira de usar o$45^\circ$ ângulo, exceto que posso descobrir que o triângulo é cíclico.

Alguém pode ajudar?

Answer 1

Deixei $OC = a$, $OD = b$. assim$OA=\frac{2}{5}OC$, $OB = \frac{2}{5} OD$.

(Observe que você trocou de rótulos $C$ e $D$ na figura)

Também deixe $AD=3x$, $BC=3y$, de modo que $QA=2x$, $QB=2y$.

Nós temos $a^2+b^2=100$

Por Pitágoras, $$ (OA^2+OD^2)+(OB^2+OC^2)=9(x^2+y^2) $$ $$ \Rightarrow x^2+y^2=116/9 $$

Por regra de cosseno em $\triangle QAB$, $$ 4x^2+4y^2-4\sqrt{2}xy=4^2 $$ $$\Rightarrow xy=\dfrac{40\sqrt{2}}{9}$$

assim $$ \begin{align} [ABCD] &= (1-\dfrac{4}{25})[QDC] \\ &=\dfrac{21}{25}(\frac{1}{2}\cdot QD\cdot QC\cdot\sin 45^{\circ})\\ &=\dfrac{21}{25}(\frac{1}{2}\cdot 5x\cdot5y\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}) \\ &=\boxed{\dfrac{140}{3}} \end{align} $$

Answer 2

Pelo seu trabalho $$(2x)^2+(2y)^2=4^2,$$ que dá $$x^2+y^2=4.$$ Além disso, $$AD=\sqrt{DO^2+AO^2}=\sqrt{25y^2+4x^2}$$ e $$BC=\sqrt{25x^2+4y^2}.$$ Agora deixe $PABC$ ser paralelogramo.

Portanto, $P\in DC$, $AP=BC$, $$DP=DC-PC=10-4=6$$ e $$\measuredangle DAP=\measuredangle Q=45^{\circ}.$$ Assim, pela lei dos cossenos para $\Delta DAP$ nós obtemos: $$\frac{25y^2+4x^2+25x^2+4y^2-36}{2\sqrt{(25x^2+4y^2)(25y^2+4x^2)}}=\frac{1}{\sqrt2}$$ ou $$\frac{29\cdot4-36}{\sqrt2}=\sqrt{(25x^2+4y^2)(25y^2+4x^2)}$$ ou $$3200=641x^2y^2+100(x^4+y^4)$$ ou $$3200=441x^2y^2+100(x^2+y^2)^2,$$ que dá $$xy=\frac{40}{21}.$$ ID est, $$S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot DB=\frac{1}{2}\cdot7x\cdot7y=\frac{140}{3}.$$