Encontre a dimensão de $V$

Question

Deixei $T\in M_{m\times n}(\Bbb{R})$. Deixei$V$ ser o subespaço de $M_{n\times p}(\Bbb{R})$ definido por $V=\{X\in M_{n\times p}(\Bbb{R}): TX=0\}$. Encontre a dimensão de$V$.

Para encontrar a dimensão de $V$. Defina um mapa$S:M_{n\times p}(\Bbb{R})\to M_{m\times p}(\Bbb{R})$ de $S(X)=TX$. Claramente,$S$é uma transformação linear. Se eu tiver$\operatorname{dim}Ker(S)$ então posso facilmente encontrar $\operatorname{dim}V$.

Mas como encontrar $\operatorname{dim}Ker(S)$?

Qualquer ajuda será apreciada.

Answer 1

Podemos resolver essa questão em duas etapas. O primeiro passo é reformular a questão para ser sobre mapas lineares em vez de matrizes. Em seguida, respondemos à questão reformulada.

Uma reformulação deve ser assim:

Deixei $g:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ser linear. Deixei$V$ ser o subespaço de $\operatorname{Hom}(\mathbb R^p,\mathbb R^n)$ definido por $V:=\{f\in\operatorname{Hom}(\mathbb R^p,\mathbb R^n)~:~g\circ f=0\}$. Encontre a dimensão de$V$.

$\operatorname{Hom}(\mathbb R^p,\mathbb R^n)$ é o espaço dos mapas lineares $\mathbb R^p\to\mathbb R^n$. Para obter esta formulação, temos que observar que cada matriz em$M_{m\times n}(\mathbb R)$ é apenas a representação de um mapa linear $\mathbb R^n\to\mathbb R^m$, e que cada um desses mapas lineares é representado por exatamente uma dessas matrizes (dadas as bases fixas dos espaços vetoriais envolvidos). Também temos que notar que se as matrizes$A,B$ representam os mapas lineares $f,g$, então a matriz $BA$ representa o mapa linear $g\circ f$. A multiplicação de matrizes foi deliberadamente definida de forma que isso seja verdade. Com isso, pegamos$g$ para ser o mapa linear representado por $T$e $f$ o mapa linear representado por $X$, e então basicamente terminamos a tradução.

Agora, para resolver a questão. Você identificou corretamente isso$V$ é o núcleo do mapa $S:X\mapsto TX$. Na linguagem dos mapas lineares, devemos considerar$S:f\mapsto g\circ f$. É kernel é$V$como definimos em nossa pergunta reformulada. Agora temos que nos perguntar: Qual é o núcleo deste mapa? É o espaço de todos$f\in\operatorname{Hom}(\mathbb R^p,\mathbb R^n)$ cuja imagem está no kernel de $g$, porque então e só então $g\circ f$ mapeie tudo para $0$. Se algo fora$\ker g$ estavam contidos em $\operatorname{im}f$, então $g$ mapearia isso para algo diferente de $0$, então $\operatorname{im}f\subseteq\ker g$. E na outra direção, se$\operatorname{im}f\subseteq\ker g$, então obviamente $g\circ f=0$.

Portanto, agora temos que encontrar a dimensão do espaço de todos os mapas lineares $\mathbb R^p\to\mathbb R^n$ cuja imagem está em $\ker g$. Esses são essencialmente todos os mapas lineares$\mathbb R^p\to\ker g$, isso é, $\operatorname{Hom}(\mathbb R^p,\ker g)$. E a dimensão de$\operatorname{Hom}(V,W)$ é apenas $\dim V\cdot\dim W$ para qualquer espaço vetorial $V,W$. Nesse caso,$V=\mathbb R^p$ e $W=\ker g$, então $\dim\ker S=p\cdot\dim(\ker g)$.

Traduzindo de volta, $g$ era o mapa representado pela matriz $T$. Seus grãos são os mesmos, por definição. Então, no final, temos

$$\dim V=\dim(\ker S)=p\cdot\dim(\ker T).$$