Identidade integral do caminho

Question

Estou lendo os Métodos de Campo de Fundo nas Palestras EPFL sobre GR como EFT . Os autores usam essa identidade na página 23, Equação (174):$$ \mathcal{N}^{-1}\int\mathcal{D}\phi\,\mathcal{D}\phi^*\exp\{-i\int\mathrm{d}^4x\,\phi(\square+v(x))\phi^*\} = \frac{\mathcal{N}^{-1}}{\det(\square+v(x))}\tag{174} $$que é apenas uma integral gaussiana (caminho) padrão. Mas eles vão usar isso:$$ \frac{\mathcal{N}^{-1}}{\det(\square+v(x))} = \mathcal{N}^{-1}\exp\{-\int\mathrm{d}^4x\,\langle x|\text{Tr}\ln(\square+v(x))|x\rangle\} \tag{174}$$que eu não entendo totalmente. Isso faz uso do$\log \det \mathbf{A} = \text{Tr} \log \mathbf{A}$? Se sim, por que há uma integral no$\exp$ - não deveria haver uma função delta correspondente para 'cancelar' isso?

Answer 1

1. Sim, OP está certo: as palestras estão usando integração de caminho gaussiano e a identidade$$ \det A~=~e^{{\rm tr}\ln A}\quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{\det A}~=~e^{-{\rm tr}\ln A} \tag{i}$$na eq. (174).

2. Em seguida, as palestras estão usando a relação de completude $$\int\mathrm{d}^4x\,|x\rangle \langle x|~=~{\bf 1} \tag{ii}$$ e $$ {\rm tr}[A|x\rangle \langle x|]~=~ \langle x|A|x\rangle\tag{iii} $$na eq. (174).

3. O traço sobrevivente no RHS da última eq. (174) poderia, por exemplo, ser um traço de sabor e indica que o traço na eq. (iii) é apenas um traço parcial .

Answer 2

Sim, você está certo - a identidade logarítmica do determinante foi usada acima. Quanto ao exponencial, o seguinte (do livro Field Quantization de Greiner, Reinhardt, capítulo 11, página no. 353) foi usado -
$ \int {d^D v \exp \big\{ {- \frac{1}{2} v^T A v} \big\}} = \big(2\pi\big)^{\frac{D}{2}} \exp \big\{ {- \frac {1}{2} Tr ln A} \big\} = \big(2\pi\big)^{\frac{D}{2}}\big(det A \big)^{-\frac{1}{2}} $

A prova do acima também é fornecida aqui. o$2\pi$provavelmente já estão absorvidos na constante que o acompanha. A expressão dada em sua pergunta é (muito provavelmente) uma integral de ação no formalismo de Feynman (integral de caminho) e é por isso que o$-i$ está lá - o ponto crucial do formalismo de Feynman é que a ação pode ser escrita como $ \exp \big\{\frac{-i S}{\hbar}\big\} $. Felicidades!