Localmente e contavelmente compacto $T_1$ espaço é normal

Question

Um espaço é localmente compacto se cada ponto tiver alguma vizinhança compacta; é contável compacto se for uma união de um número contável de conjuntos compactos.$T_1$ equivale a que todo singleton é um conjunto fechado, enquanto um espaço normal separa seus conjuntos fechados disjuntivos com vizinhanças abertas disjuntivas.

Usando essas definições, afirma-se que localmente e contavelmente compacto $T_1$o espaço é normal. Não consegui encontrar uma prova para isso ou derivar uma.

Answer 1

Você não encontrou o resultado porque sua definição de compacto contável não é a clássica. O que você afirma ser compacto é conhecido como$\sigma$-compactar. Aqui você pode encontrar a prova de que sempre localmente compacto e$\sigma$-o espaço compacto é paracompacto e, portanto, normal pelo teorema de Dieudonné.

https://ncatlab.org/nlab/show/locally+compact+and+sigma-compact+spaces+are+paracompact

No entanto, verifique se a definição de compactação local corresponde à sua (geralmente há muitas definições, mas todas concordam quando o espaço topológico é $T_2$)

Answer 2

Isso é falso, conforme afirmado:$X=\Bbb N$ na topologia de cofinito é $T_1$, compacto (então certamente "contavelmente compacto" (em sua definição, melhor é usar o mais padrão $\sigma$-compact) e "localmente compacto"), mas não é normal, pois não é nem mesmo Hausdorff.

Torna-se verdade se mudarmos $T_1$ para Hausdorff, no entanto.