Órbitas de $\mathbb{Z}$ ação em $\mathbb{S}^1$

Question

Deixei $\mathbb{Z}$ age em $\mathbb{S}^1$ com a ação $\phi (n)(z)=e^{i \alpha n}z$ definido para $\alpha\in\mathbb{R}$ e $z\in\mathbb{S}^1$.

Primeiro vemos facilmente que $\phi$ é estável em $\mathbb{S}^1$.

Quais são as órbitas desta ação? Podemos descrever todos eles? Eles são relacionados a$O(2)$ grupo?

Já fiz alguns casos especiais para qualquer ponto $P$ dentro $\mathbb{S}^1$:

• Para $\alpha=0$, $\phi(n)(z)=Id_{\mathbb{S}^1}$
• Para $\beta\in\mathbb{Z}^*$ de tal modo que $2\pi/\alpha=\beta$ temos $\lvert\mathbb{Z}(P)\rvert=\beta$
• Para $p/q\in\mathbb{Q}^*$ de tal modo que $2\pi / \alpha=p/q$ temos $\lvert\mathbb{Z}(P)\rvert=p$
• Eu acho que por $2\pi / \alpha$ como irracional, a órbita pode ser $\mathbb{S}^1$ mas não posso provar isso.

Answer 1

Existem dois casos. E se$\frac{\alpha}{2\pi} = \frac{p}{q}$ é racional e em termos mais baixos, então cada órbita tem tamanho $q$(como você diz). Caso contrário, se$\frac{\alpha}{2\pi}$ é irracional, então toda órbita tem estabilizador trivial, então é uma cópia do $\mathbb{Z}$. (A órbita não pode ser toda$S^1$porque tem que ser contável. O que é verdade no caso irracional é que nenhuma das órbitas está fechada, e qualquer um de seus fechamentos é tudo de$S^1$.)