Pergunta sobre campos finitos

Question

Eu sou do Brasil, então meu inglês não é o melhor, me desculpe se houver algo errado. estou a usar$|F_q|$ para o cardeal do campo.

eu tenho $\mathbb{F}_q$ um campo finito de características $p$ e cardeal $q$, $p$ é um número primo e $q$ é um poder de $p$.

É um exercício muito longo, já mostrei isso para $p=2$ $\mathbb{F}_q=\mathbb{F}_q^2$ e para $p\neq2$ Eu mostro isso $|\mathbb{F}_q^{*^2}|=\frac{q-1}{2}$ e $|\mathbb{F}_q^2|=\frac{q+1}{2}$.

Então mostrei as propriedades:

$x\in \mathbb{F}_q^* \Longrightarrow x^{\frac{q-1}{2}}=\pm 1;$

$x \in \mathbb{F}_q^{*^2} \Longleftrightarrow x^{\frac{q-1}{2}}= 1;$

$-1\in \mathbb{F}_q^{*^2} \Longleftrightarrow q-1\equiv 0$ (mod $4$)

Agora estou tendo problemas para mostrar isso:

E se $-1$ e $x$ não são quadrados de $\mathbb{F}_q^*$, então $-x$ é um quadrado de $\mathbb{F}_q$.

E também, estou tendo problemas para mostrar isso em campo $\mathbb{F}_p$, Suponha que $$A=\{ -x^2; x\in \mathbb{F}_p \} \quad \text{and} \quad B=\{ 1+y^2;y \in \mathbb{F}_p \}$$

Eu tenho que mostrar isso $|A|=|B|=\frac{p+1}{2}$, e deduzir que existem $x$ e $y$ dentro $\mathbb{F}_p$ de tal modo que $$1+x^2+y^2=0$$ e existe $a$ e $b$ $$p|1+a^2+b^2.$$

Answer 1

Pelo que você já provou $(-1)^{(q-1)/2}= -1$. Portanto$(q-1)/2$é estranho. Além disso$x^{(q-1)/2}=-1$. Mas então$(-x)^{(q-1)/2}=(-1)^{(q-1)/2}(x)^{(q-1)/2}=1$, então, novamente pelo que você provou, $-x$é um quadrado. QED

Uma prova do resto da questão - para cada potência primária ímpar $q=p^n$. O grupo multiplicativo$\Bbb{F}_q^*$ é Abeliano de ordem $q-1$. O mapa$x\mapsto x^2$é um homomorfismo. Seu kernel é$\{x\mid x^2=1\}=\{-1,1\}$ da ordem 2 porque $1\ne -1$ Desde a $q$ é estranho, então a imagem (o conjunto de todos os quadrados diferentes de zero) é do tamanho $(q-1)/2$. Então o set$S$ de todos (incluindo zero) quadrados de $\Bbb{F}_q$ é do tamanho $(q-1)/2+1=(q+1)/2$. Então o set$A$ e o conjunto $B$ são do mesmo tamanho: o conjunto $A$ é obtido de $S$ adicionando o $-$ sinal para cada elemento, o conjunto $B$ é obtido adicionando $1$ para cada elemento de $S$. E se$A$ e $B$ não se cruzou então $A\cup B$ conteria $q+1$ elementos $>|\Bbb{F}_q|$. Conseqüentemente$A\cap B$não está vazio. Portanto, existem$x, y$ de tal modo que $-x^2=1+y^2$ ou $1+x^2+y^2=0$ que significa $1+x^2+y^2\equiv 0\mod p$.