Prova sobre a convergência de uma subsequência arbitrária

Question

Minhas notas de cálculo contêm o seguinte teorema e sua prova:

Se a sequência $(x_n)$ converge para $a$ e se $(x_{n_k})$ é qualquer subsequência de $(x_n)$, então $x_{n_k}\to a$ quando $k\to \infty$

Prova:

Deixei $\varepsilon>0$. Escolher$N\in\mathbb{N}$ de tal modo que $n\geq N$ implica $|x_n-a|<\varepsilon$.

Desde a $n_k\in\mathbb{N}$ e $n_1<n_2<...,$ Está claro que $n_k\geq k$ para todos $k\in\mathbb{N}$.

Então, $k\geq N$ implica $n_k\geq N$. Portanto,$|x_{n_k}-a|<\varepsilon$. Em outras palavras,$x_{n_k}\to a$ quando $k\to\infty$.

Eu não entendo por que podemos afirmar que $n_k\geq k$ para todos $k\in\mathbb{N}$. Qualquer ajuda é apreciada.

Answer 1

É verdade porque a sequência $(n_k)$está aumentando estritamente. Portanto, para cada$k$

$\{n_1,\ldots,n_k\} \subset \{1,\ldots,n_k \}$.

O conjunto no LHS tem $k$ elementos, o conjunto no RHS $n_k$elementos A inclusão do conjunto implica$k \le n_k$.