Prove a desigualdade usando indução simples.

Question

Eu estava resolvendo esta questão:

Deixei $A_1,A_2,A_3\cdots A_n$ seja uma sequência de números reais que satisfaça $A_{i+j} \leq A_i + A_j ,\forall i, j \in\mathbb{N}$. Provar que$A_1 + \frac{A_2}2 + \frac{A_3}{3} +\cdots + \frac{A_n}n \geq A_n$.

Eu fui capaz de provar isso $A_1 \geq \frac{A_n}n$ para todos $n$sendo natural usando indução. Mas depois disso, não posso usar esse fato para provar a declaração exigida.

Eu não acho que dada a desigualdade, qualquer outra desigualdade vai realmente se provar útil, então o que estou perdendo?

Answer 1

Para $n=1$ é verdade.

Deixei $a_1+\frac{a_2}{2}+...+\frac{a_n}{n}\geq a_n$ para $n\in\{1,2,...,n\}$.

Depois de somar estes $n$ desigualdades que obtemos: $$na_1+(n-1)\frac{a_2}{2}+...+\frac{a_n}{n}\geq a_1+a_2+...+a_n,$$ que dá $$na_1+a_1+(n-1)\frac{a_2}{2}+a_2+...+\frac{a_n}{n}+a_n\geq$$ $$\geq(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+...+(a_n+a_1)\geq na_{n+1},$$ que dá $$(n+1)\left(a_1+\frac{a_2}{2}+...+\frac{a_n}{n}\right)\geq na_{n+1}$$ ou $$a_1+\frac{a_2}{2}+...+\frac{a_n}{n}+\frac{a_{n+1}}{n+1}\geq\frac{na_{n+1}}{n+1}+\frac{a_{n+1}}{n+1}$$ ou $$a_1+\frac{a_2}{2}+...+\frac{a_n}{n}+\frac{a_{n+1}}{n+1}\geq a_{n+1}$$ e terminamos por indução.