Prove que $Dim(W) \leq k$

Question

Deixe ser$V$um espaço vetorial sobre um campo$F$com dimensão finita. Deixe ser$T$um operador linear em$V$. Suponha que o polinômio característico de$T$,$p(x)$, é da forma$p(x)=(x-c)^{k}g(x)$com$k > \in \mathbb{N}^{+}$,$c \in F$e$g(c) \neq 0$, e considere$W$o espaço dos autovetores associados a$c$.

Prove que:

1. $Dim(W) \leq k$
2. Se$Dim(W)<k$, então$T$não é diagonizável

Não tenho certeza de como resolver o problema. Como posso provar isso?

Eu realmente apreciaria sua ajuda!

Answer 1

Dica

1. Tome uma base$(e_1, \dots, e_m)$do autoespaço associado ao autovalor$c$e completá-lo em uma base$(e_1, \dots, e_m, e_{m+1}, \dots, e_n)$do espaço$V$. Agora calcule o polinômio característico de$T$nessa base.
2. Por contraposição se$T$era diagonalizável,$T$seria semelhante a uma matriz diagonal tendo$k^\prime$ $c$e a diagonal. O cálculo do polinômio característico leva a$k=k^\prime$significando que o autoespaço associado a$c$tem sua dimensão igual a$k$.