Qual é o produto tensorial dependente do campo em uma álgebra?

Question

Não entendo a seguinte notação:

$$V_F := V \otimes_k F$$

Em primeiro lugar, sei que o produto é uma operação bilinear, ou seja $A \otimes A \to A$, entre elementos do espaço vetorial $A$ na álgebra, mas $F$ é um campo, não é? $K$ é de fato um subcampo do campo maior $F$ com a operação restrita como no exemplo clássico de $\mathbb R$ e $\mathbb C$. Eu encontrei uma pergunta e resposta semelhante para espaços vetoriais, e isso explica que

$V_K$ é abrangido por símbolos do formulário $a \otimes v$

mas aí é notado que

essas regras não são suficientes para combinar cada soma em um elemento do formulário $a \otimes v$.

Portanto, aqui, no caso mais complicado de uma álgebra em vez de um espaço vetorial, estou ainda mais confuso ...

Em segundo lugar, há uma maneira de reconciliar a definição algébrica acima com um ponto de vista geométrico (por exemplo, álgebra de Lie em geometria diferencial)? Onde eles dizem

O conjunto de campos vetoriais invariantes à esquerda $\mathbb g$ com o colchete de Lie [,]: $g \times g \to g$ é chamada de álgebra de Lie de um grupo de Lie $G$.

existe uma definição equivalente em, digamos, álgebra não comutativa?

Answer 1

E se $V$ é um espaço vetorial sobre $k$, $V_F = V \otimes_k F$ é um espaço vetorial sobre $F$chamada de extensão de escalares de$V$ para $F$, com relação a uma escolha fixa de incorporação $f : k \to F$. Pode ser entendido explicitamente da seguinte forma: se$v_1, \dots v_n$ é uma base de $V$ sobre $k$ ($n$ pode ser infinito aqui), então sua imagem na extensão dos escalares $v_1 \otimes 1, \dots v_n \otimes 1$ (muitas vezes apenas escrito $v_1, \dots v_n$ novamente) permanece uma base de $V_F$ sobre $F$. Então por exemplo

$$k^n \otimes_k F \cong F^n$$ $$M_n(k) \otimes_k F \cong M_n(F)$$ $$k[x_1, \dots x_n] \otimes_k F \cong F[x_1, \dots x_n]$$ $$\mathfrak{sl}_n(k) \otimes_k F \cong \mathfrak{sl}_n(F).$$

(Até agora, tudo isso são apenas isomorfismos de espaços vetoriais.)

E se $V$ tem a estrutura de um $k$-álgebra (comutativa, associativa, Lie, etc.) então $V \otimes_k F$ herda essa estrutura, mas agora como um $F$-álgebra. o$k$- multiplicação linear $m : V \otimes_k V \to V$ é atualizado para um $F$- multiplicação linear $m_F : V_F \otimes_F V_F \to V_F$. Novamente trabalhando explicitamente, se$v_1, \dots v_n$ é uma base de $V$ e $m$ tem constantes de estrutura

$$m(v_i) = \sum_{jk} m_i^{jk} v_j v_k$$

com relação a esta base, então a extensão dos escalares $m_F$ tem constantes de estrutura $f(m_i^{jk})$ em relação a $v_1, \dots v_n$ considerado como uma base de $V_F$ sobre $F$como acima. Isso torna todos os isomorfismos que acabei de escrever isomorfismos de$F$-álgebras.

Não entendo sua segunda pergunta ou o que ela tem a ver com sua primeira pergunta.