Quociente de propriedade universal

Question

Deixei $G$ seja um grupo e $N$ um subgrupo normal de $G$. Um par$(K, \pi: G \to K)$ Onde $\pi$ é um morfismo de grupo que satisfaz a propriedade universal do grupo quociente se para todos os morfismos de grupo $f: G \to H$ com $N \subseteq \ker f$ há um único $\tilde{f}: K \to H$ de tal modo que $\tilde{f}\circ \pi = f$.

Pergunta : Esta definição está correta? Eu acredito que devemos exigir que$N \subseteq \ker \pi$, ou isso decorre da definição?

Answer 1

Você está correto, a condição de $N\subset \ker \pi$deve ser adicionado. Caso contrário, qualquer morfismo sobrejetivo com$\ker\pi\subset N$ satisfaria a propriedade.