Regra de cancelamento para multiplicação com 0
Preliminares:
Da teoria básica do grupo, temos as seguintes definições:
Definição (Grupo): Um grupo$(G,*)$ consiste em um conjunto $G$ junto com uma operação $*$ em $G$, definido como
\begin{align*} *:G\times G\rightarrow G,\quad (a,b)\mapsto a*b \end{align*} para todos $a,b\in G$, satisfazendo as seguintes propriedades:
- Associatividade: a operação $*$ é associativo, ou seja, \begin{align*} (a*b)*c=a*(b*c), \tag{G1} \end{align*} para todos $a,b,c\in G$.
- Elemento de identidade: existe um elemento $e\in G$, de tal modo que \begin{align*} e*a=a*e=a, \tag{G2} \end{align*} para todos $a\in G$.
- Elemento inverso: para cada $a\in G$, existe um elemento $a^{1}$ (chamado de inverso de $a$), de tal modo que \begin{align*} a^{-1}*a=a*a^{-1}=e. \tag{G3} \end{align*}
Definição (Grupo Abeliano) : Um grupo$(G,*)$ é chamado abeliano se $*$ é comutativo, ou seja, \begin{align*} a*b=b*a \tag{G4} \end{align*} para todos $a,b\in G$.
Temos então o seguinte Teorema (Leis de Cancelamento):
Teorema (Leis de Cancelamento) : Let$(G,*)$ seja um grupo e deixe $a,b,c\in G$. Então, as seguintes regras de cancelamento são válidas:\begin{align*}\tag{1} a*c=b*c\Rightarrow a=b \end{align*} e \begin{align*}\tag{2} c*a=c*b\Rightarrow a=b \end{align*}
Eu sei que podemos provar esse teorema usando o elemento inverso $a^{-1}\in G$.
Finalmente, temos a seguinte definição:
Definição (campo) : um campo$(\mathbb{F},+,\cdot)$ consiste de um conjunto $\mathbb{F}$ junto com duas operações binárias internas (adição $+$ e multiplicação $\cdot$), satisfazendo as seguintes propriedades:
- $(\mathbb{F},+)$ é um grupo abeliano com elemento de identidade $0\in\mathbb{F}$
- $(\mathbb{F}\setminus\{0\},\cdot)$ é um grupo abeliano com elemento de identidade $1\in\mathbb{F}$
- Distributividade: para todos $a,b,c\in \mathbb{F}$, as seguintes equações são válidas: \begin{align*} a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c \\ (b+c)\cdot a=b\cdot a + c\cdot a \end{align*}
Questão:
Agora, vamos supor que * é a multiplicação usual que conhecemos do campo $(\mathbb{R},+,\cdot)$de números reais (ou qualquer outro campo, eu acho). Existem dois casos:
- $c\neq 0$: Neste caso, a Lei de Cancelamento é válida.
- $c=0$: A Lei de Cancelamento obviamente não vale para $c=0$ Desde a $a*0=0$ e $b*0=0$ (respectivamente $0*a=0$ e $0*b=0$) para todos $a,b\in G$.
Concluo que a Lei de Cancelamento vale para $G=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ mas não para $G=\mathbb{R}$.
O teorema acima não foi totalmente formulado ou o que eu perdi? Eu acho que, se a Lei de Cancelamento se aplica a todos os grupos, então$(\mathbb{R},\cdot)$não pode ser um grupo, mas por quê? Pela definição dos campos, sabemos que$(\mathbb{R}\setminus\{0\},\cdot)$ é um grupo abeliano, mas como podemos concluir que $(\mathbb{R},\cdot)$não é um grupo? Ou estou supondo errado e há uma explicação completamente diferente para isso?
Agradecemos antecipadamente por tentar me ajudar com esta questão.
Respostas
Você está certo. $\Bbb R$é um campo; mas ninguém disse que os números reais sob multiplicação são um grupo. São declarações diferentes.
Assim como $\Bbb Z$ não é um grupo em multiplicação, porque não há inversos multiplicativos, e $\Bbb Q\,,\Bbb C$ e $\Bbb Z/(p\Bbb Z)$ são campos porque são anéis comutativos de forma que todo elemento diferente de zero é invertível, apenas para dar alguns exemplos.
Na verdade, existe um campo finito $\Bbb F_{p^n}$ de ordem $p^n$ para $p$ primo e cada natural $n$e $\Bbb F_{p^m}\subset \Bbb F_{p^n}$ é um subcampo se e somente se $m|n$. E esses são todos os campos finitos. Também curiosamente, o grupo multiplicativo de um corpo finito é cíclico.
Você tem que ter cuidado.
Aqui está uma abordagem alternativa.
Lema : cada grupo$G$tem exatamente um idempotente ; ou seja, a identidade$e$.
Prova: Suponha$x\in G\setminus \{e\}$é um idempotente. Então, por definição,$xx=x^2=x=ex.$ Agora, basta aplicar a lei de cancelamento certa para obter $x=e$, uma contradição. $\square$
Desde a $0\times 0=0$ e $1\times 1=1$, então, $(\Bbb R,\times)$ não pode ser um grupo.