Resultado preliminar da álgebra comutativa

Question

Estou olhando para o exercício 14 (página 12) da Introdução à Álgebra Comutativa de Atiyah e Macdonald :

Em um anel A, deixe $\Sigma$seja o conjunto de todos os ideais em que cada elemento é um divisor zero. Mostra isso$\Sigma$ tem elementos máximos e que cada elemento máximo de $\Sigma$ é um ideal primordial.

Uma vez que se pode aplicar o lema de Zorn ao conjunto de todos os ideais de $A$, pode-se aplicá-lo aos ideais em $\Sigma$também, e provar que tem elementos máximos. No entanto, não entendo como esses ideais maximais podem ser primos: todo ideal em$A$ (e assim, cada elemento máximo em $\Sigma$) está contido em um ideal máximo; segue-se que cada elemento máximo de$\Sigma$ é a intersecção de um ideal máximo com o ideal de todos os divisores zero de $A$. Visto que um ideal primário não pode ser obtido como a interseção de dois ideais, isso é absurdo. Onde estou errado neste raciocínio? desde já, obrigado

Answer 1

Não acredito que o conjunto de todos os divisores zero seja um ideal.

Por exemplo em $k[x,y]/(xy)$ este conjunto é $(x) \cup (y)$ mas por exemplo, $x + y$ não é um divisor zero.

Answer 2

Dentro ${\Bbb Z}/6{\Bbb Z}$, $2$ e $3$são zero divisores. Contudo,$3-2 = 1$ não é.