Teoria de interpolação e $C^k$-espaços

Question

Considere os espaços de Banach $C^k(M)$ ($k=0,1,2,\dots$), consiste em $k$vezes funções continuamente diferenciáveis $f:M\rightarrow \mathbb{C}$ em um coletor fechado $M$(ou apenas o toro, se isso torna mais fácil). Eu tenho algumas perguntas sobre sua teoria de interpolação:

• É $C^1(M)$ um espaço de interpolação para o par $(C^0(M),C^2(M))$? De acordo com Bergh-Lofström, isso significa que qualquer mapa linear$T:C^0(M)\rightarrow C^0(M)$ que sai $C^2(M)$ invariante, também deixa $C^1(M)$invariante. Não vejo como alguém poderia provar isso. O motivo pelo qual estou me perguntando é que essa seria uma condição suficiente (mas não necessária) para a associação$(C^0,C^2)\mapsto C^1$ estender a um functor de interpolação em espaços de Banach (Teorema de Aronszajn-Gagliardo).
• Podemos identificar os espaços de interpolação $[C^k, C^l]_\theta$ ou $[C^k,C^l]_{\theta,p}$(onde os colchetes representam interpolação complexa e real, respectivamente)? Só encontro resultados deste tipo para espaços Hölder-Zygmund$C_*^k$, que diferem de $C^k$ para valores inteiros de $k$. Talvez se possa até identificar$C^k$ como membro de alguma escala maior de espaços (Besov, Triebel, etc.)?

Answer 1

$C^1$ não é um espaço de interpolação entre $C$ e $C^2$. Há um exemplo devido a Mitjagin e Semenov de uma sequência$T_n$ de operadores uniformemente limitados em $C,C^2$ cuja norma explodiu em $C^1$. Você encontra este exemplo no livreto de A. Lunardi "Teoria da Interpolação" (editora SNS Pisa). Na edição em minhas mãos, está em Chapther I, após o Exemplo 1.3.3, pag 29.