DSP - DFT การแปลงโคไซน์แบบไม่ต่อเนื่อง

DCT (การแปลงโคไซน์แบบไม่ต่อเนื่อง) คือลำดับอินพุต N x (n), 0≤n≤N-1 เป็นการแปลงเชิงเส้นหรือการรวมกันของเลขชี้กำลังที่ซับซ้อน เป็นผลให้ค่าสัมประสิทธิ์ DFT โดยทั่วไปมีความซับซ้อนแม้ว่า x (n) จะเป็นจริง

สมมติว่าเราพยายามค้นหาการแปลงมุมฉากซึ่งมีโครงสร้าง N × N ที่แสดงลำดับจริง x (n) เป็นการรวมเชิงเส้นของลำดับโคไซน์ เรารู้แล้วว่า -

$ X (K) = \ displaystyle \ sum \ LIMIT_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) cos \ frac {2 \ Pi kn} {N} 0 \ leq k \ leq N-1 $

และ$ x (n) = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} x (k) cos \ frac {2 \ Pi kn} {N} 0 \ leq k \ leq N-1 $

เป็นไปได้ถ้าลำดับจุด N x (n) เป็นจริงและสม่ำเสมอ ดังนั้น $ x (n) = x (Nn), 0 \ leq n \ leq (N-1) $ DFT ที่ได้นั้นเป็นของจริงและสม่ำเสมอ สิ่งเหล่านี้ทำให้ชัดเจนว่าเราสามารถหาอุปกรณ์การแปลงโคไซน์แบบไม่ต่อเนื่องสำหรับลำดับจริง N จุดใดก็ได้โดยการใช้ DFT จุด 2N ของ "ส่วนขยายคู่" ของลำดับ

โดยพื้นฐานแล้ว DCT ใช้ในการประมวลผลภาพและคำพูด นอกจากนี้ยังใช้ในการบีบอัดภาพและสัญญาณเสียงพูด

$ DFT [s (n)] = S (k) = \ sum_ {n = 0} ^ {2N-1} s (n) W_ {2N} ^ {nk}, \ quad โดยที่ \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

$ S (k) = \ displaystyle \ sum \ LIMIT_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) W_ {2N} ^ {nk} + \ displaystyle \ sum \ LIMIT_ {n = N} ^ {2N -1} x (2N-n-1) W_ {2N} ^ {nk}; \ quad โดยที่ \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

$ \ Rightarrow S (k) = W_ {2N} ^ {- k / 2} + \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) [W_ {2N} ^ {nk} W_ {2N} ^ {k / 2} + W_ {2N} ^ {- nk} W_ {2N} ^ {- k / 2}]; \ quad โดยที่ \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

$ \ Rightarrow S (k) = W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2}} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) \ cos [\ frac {\ pi} { N} (n + \ frac {1} {2}) k]; \ quad โดยที่ \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

DCT ถูกกำหนดโดย

$ V (k) = 2 \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) \ cos [\ frac {\ pi} {2} (n + \ frac {1} {2}) k] \ รูปสี่เหลี่ยมโดยที่ \ quad 0 \ leq k \ leq N-1 $

$ \ Rightarrow V (k) = W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2}} S (k) \ quad หรือ \ quad S (k) = W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2 }} V (k) \ quad โดยที่ \ quad 0 \ leq k \ leq N-1 $

$ \ Rightarrow V (k) = 2R [W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2}} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) W_ {2N} ^ {nk} ], \ quad โดยที่ \ quad 0 \ leq k \ leq N-1 $