DSP - การมีอยู่ของ Z-Transform

ระบบที่มีฟังก์ชันของระบบจะเสถียรได้ก็ต่อเมื่อเสาทั้งหมดอยู่ในวงกลมยูนิตเท่านั้น ขั้นแรกให้ตรวจสอบว่าระบบมีสาเหตุหรือไม่ หากระบบเป็นสาเหตุเราจะทำการกำหนดความเสถียรของ BIBO โดยที่ความเสถียรของ BIBO หมายถึงอินพุตที่มีขอบเขตสำหรับเงื่อนไขเอาต์พุตที่มีขอบเขต

สามารถเขียนเป็น;

$ Mod (X (Z)) <\ infty $

$ = Mod (\ sum x (n) Z ^ {- n}) <\ infty $

$ = \ sum Mod (x (n) Z ^ {- n}) <\ infty $

$ = \ sum Mod [x (n) (re ^ {jw}) ^ {- n}] <0 $

$ = \ sum Mod [x (n) r ^ {- n}] Mod [e ^ {- jwn}] <\ infty $

$ = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty Mod [x (n) r ^ {- n}] <\ infty $

สมการข้างต้นแสดงเงื่อนไขการดำรงอยู่ของการแปลง Z

อย่างไรก็ตามเงื่อนไขสำหรับการมีอยู่ของสัญญาณ DTFT คือ

$$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty Mod (x (n) <\ infty $$

ตัวอย่าง 1

ให้เราลองหา Z-transform ของสัญญาณซึ่งได้รับเป็น

$ x (n) = - (- 0.5) ^ {- n} u (-n) + 3 ^ nu (n) $

$ = - (- 2) ^ nu (n) + 3 ^ nu (n) $

Solution - ที่นี่สำหรับ $ - (- 2) ^ nu (n) $ ROC อยู่ด้านซ้ายและ Z <2

สำหรับ $ 3 ^ nu (n) $ ROC คือด้านขวาและ Z> 3

ดังนั้นที่นี่ Z-transform ของสัญญาณจะไม่มีอยู่เนื่องจากไม่มีภูมิภาคทั่วไป

ตัวอย่าง 2

ให้เราลองหา Z-transform ของสัญญาณที่กำหนด

$ x (n) = -2 ^ nu (-n-1) + (0.5) ^ nu (n) $

Solution - ที่นี่สำหรับ $ -2 ^ nu (-n-1) $ ROC ของสัญญาณคือด้านซ้ายและ Z <2

สำหรับสัญญาณ $ (0.5) ^ nu (n) $ ROC อยู่ด้านขวาและ Z> 0.5

ดังนั้น ROC ทั่วไปจึงถูกสร้างเป็น 0.5 <Z <2

ดังนั้น Z-transform สามารถเขียนเป็น;

$ X (Z) = \ lbrace \ frac {1} {1-2Z ^ {- 1}} \ rbrace + \ lbrace \ frac {1} {(1-0.5Z) ^ {- 1}} \ rbrace $

ตัวอย่างที่ 3

ให้เราลองหา Z-transform ของสัญญาณซึ่งได้รับเป็น $ x (n) = 2 ^ {r (n)} $

Solution- r (n) คือสัญญาณทางลาด ดังนั้นสัญญาณสามารถเขียนเป็น;

$ x (n) = 2 ^ {nu (n)} \ lbrace 1, n <0 (u (n) = 0) \ quad และ \ quad2 ^ n, n \ geq 0 (u (n) = 1) \ rbrace $

$ = u (-n-1) + 2 ^ nu (n) $

ที่นี่สำหรับสัญญาณ $ u (-n-1) $ และ ROC Z <1 และสำหรับ $ 2 ^ nu (n) $ ด้วย ROC คือ Z> 2

ดังนั้นจะไม่มีการแปลง Z ของสัญญาณ

Z -Transform สำหรับระบบสาเหตุ

ระบบสาเหตุสามารถกำหนดเป็น $ h (n) = 0, n <0 $ สำหรับระบบเชิงสาเหตุ ROC จะอยู่นอกวงกลมในระนาบ Z

$ H (Z) = \ displaystyle \ sum \ LIMIT_ {n = 0} ^ {\ infty} h (n) Z ^ {- n} $

ขยายสมการข้างต้น

$ H (Z) = h (0) + h (1) Z ^ {- 1} + h (2) Z ^ {- 2} + ... \ quad ... \ quad ... $

$ = N (Z) / D (Z) $

สำหรับระบบเชิงสาเหตุการขยายฟังก์ชัน Transfer ไม่รวมพลังบวกของ Z สำหรับระบบเชิงสาเหตุลำดับของตัวเศษต้องไม่เกินลำดับของตัวส่วน สามารถเขียนเป็น -

$ \ lim_ {z \ rightarrow \ infty} H (Z) = h (0) = 0 \ quad หรือ \ quad Finite $

เพื่อความเสถียรของระบบเชิงสาเหตุเสาของฟังก์ชัน Transfer ควรอยู่ในวงกลมหน่วยในระนาบ Z

Z-transform สำหรับระบบต่อต้านสาเหตุ

ระบบต่อต้านสาเหตุสามารถกำหนดเป็น $ h (n) = 0, n \ geq 0 $ สำหรับระบบต่อต้านสาเหตุเสาของฟังก์ชันการถ่ายโอนควรอยู่นอกวงกลมหน่วยในระนาบ Z สำหรับระบบต่อต้านสาเหตุ ROC จะอยู่ในวงกลมในระนาบ Z