DSP - Z-Transform ผกผัน

หากเราต้องการวิเคราะห์ระบบซึ่งแสดงอยู่แล้วในโดเมนความถี่เป็นสัญญาณเวลาที่ไม่ต่อเนื่องเราก็ไปหา Inverse Z-transformation

ในทางคณิตศาสตร์สามารถแสดงเป็น;

$$ x (n) = Z ^ {- 1} X (Z) $$

โดยที่ x (n) เป็นสัญญาณในโดเมนเวลาและ X (Z) คือสัญญาณในโดเมนความถี่

หากเราต้องการแทนสมการข้างต้นในรูปแบบอินทิกรัลเราสามารถเขียนเป็น

$$ x (n) = (\ frac {1} {2 \ Pi j}) \ oint X (Z) Z ^ {- 1} dz $$

ที่นี่อินทิกรัลอยู่บนเส้นทางปิด C เส้นทางนี้อยู่ภายใน ROC ของ x (z) และมีจุดกำเนิด

วิธีค้นหา Inverse Z-Transform

เมื่อต้องการการวิเคราะห์ในรูปแบบไม่ต่อเนื่องเราจะแปลงสัญญาณโดเมนความถี่กลับเป็นรูปแบบไม่ต่อเนื่องผ่านการแปลง Z แบบผกผัน เราทำตามสี่วิธีต่อไปนี้เพื่อพิจารณาการแปลง Z แบบผกผัน

• วิธีการหารยาว
• วิธีการขยายเศษส่วนบางส่วน
• วิธีการอินทิกรัลที่เหลือหรือคอนทัวร์

วิธีการหารยาว

ในวิธีนี้การแปลง Z ของสัญญาณ x (z) สามารถแสดงเป็นอัตราส่วนของพหุนามดังแสดงด้านล่าง

$$ x (z) = N (Z) / D (Z) $$

ทีนี้ถ้าเราหารเศษด้วยตัวส่วนเราก็จะได้อนุกรมตามที่แสดงด้านล่าง

$$ X (z) = x (0) + x (1) Z ^ {- 1} + x (2) Z ^ {- 2} + ... \ quad ... \ quad ... $$

ลำดับข้างต้นแสดงถึงชุดของการแปลง Z แบบผกผันของสัญญาณที่กำหนด (สำหรับn≥0) และระบบข้างต้นเป็นสาเหตุ

อย่างไรก็ตามสำหรับ n <0 อนุกรมสามารถเขียนเป็น;

$$ x (z) = x (-1) Z ^ 1 + x (-2) Z ^ 2 + x (-3) Z ^ 3 + ... \ quad ... \ quad ... $$

วิธีการขยายเศษส่วนบางส่วน

ที่นี่สัญญาณจะแสดงก่อนในรูปแบบ N (z) / D (z)

ถ้าเป็นเศษส่วนอย่างมีเหตุผลจะแสดงดังนี้

$ x (z) = b_0 + b_1Z ^ {- 1} + b_2Z ^ {- 2} + ... \ quad ... \ quad ... + b_mZ ^ {- m}) / (a_0 + a_1Z ^ { -1} + a_2Z ^ {- 2} + ... \ quad ... \ quad ... + a_nZ ^ {- N}) $

ข้อใดข้อหนึ่งไม่เหมาะสมเมื่อ m <n และ≠ 0

หากอัตราส่วนไม่เหมาะสม (เช่นไม่เหมาะสม) เราจะต้องแปลงเป็นรูปแบบที่เหมาะสมเพื่อแก้ปัญหา

วิธีการที่เหลือหรือ Contour Integral

ในวิธีนี้เราได้ค่าผกผัน Z-transform x (n) โดยการรวมเศษเหลือของ $ [x (z) Z ^ {n-1}] $ ที่ทุกขั้ว ในทางคณิตศาสตร์สิ่งนี้อาจแสดงเป็น

$$ x (n) = \ displaystyle \ sum \ LIMIT_ {all \ quad poles \ quad X (z)} ส่วนที่เหลือ \ quad ของ [x (z) Z ^ {n-1}] $$

ที่นี่กากของขั้วคำสั่ง m ที่ $ z = \ beta $ คือ

$$ Residues = \ frac {1} {(m-1)!} \ lim_ {Z \ rightarrow \ beta} \ lbrace \ frac {d ^ {m-1}} {dZ ^ {m-1}} \ lbrace (z- \ beta) ^ mX (z) Z ^ {n-1} \ rbrace $$