DSP - การกรองเชิงเส้น DFT
DFT ให้แนวทางอื่นในการแปลงโดเมนเวลา สามารถใช้เพื่อทำการกรองเชิงเส้นในโดเมนความถี่
ดังนั้น$ Y (\ โอเมก้า) = X (\ โอเมก้า) H (\ โอเมก้า) \ longleftrightarrow y (n) $ .
ปัญหาในวิธีการโดเมนความถี่นี้คือ $ Y (\ omega) $, $ X (\ omega) $ และ $ H (\ omega) $ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องของωซึ่งไม่เป็นผลสำหรับการคำนวณแบบดิจิทัลบนคอมพิวเตอร์ อย่างไรก็ตาม DFT ให้ตัวอย่างรูปแบบของรูปคลื่นเหล่านี้เพื่อแก้ปัญหาวัตถุประสงค์
ข้อดีคือการมีความรู้เกี่ยวกับเทคนิค DFT ที่เร็วกว่าเช่น FFT ทำให้สามารถพัฒนาอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพในการคำนวณสูงขึ้นสำหรับการคำนวณคอมพิวเตอร์ดิจิทัลโดยเปรียบเทียบกับวิธีโดเมนเวลา
พิจารณาลำดับระยะเวลา จำกัด $ [x (n) = 0, \ quad สำหรับ, n <0 \ quad และ \ quad n \ geq L] $ (สมการทั่วไป) กระตุ้นตัวกรองเชิงเส้นพร้อมการตอบสนองแรงกระตุ้น $ [h (n ) = 0, \ quad forn <0 \ quad และ \ quad n \ geq M] $
$$ x (n) y (n) $$ $$ output = y (n) = \ sum_ {k = 0} ^ {M-1} h (k) .x (nk) $$จากการวิเคราะห์ Convolution เป็นที่ชัดเจนว่าระยะเวลาของ y (n) คือ L + M − 1
ในโดเมนความถี่
$$ Y (\ โอเมก้า) = X (\ โอเมก้า) .H (\ โอเมก้า) $$ตอนนี้ $ Y (\ omega) $ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องของωและสุ่มตัวอย่างที่ชุดของความถี่ที่ไม่ต่อเนื่องพร้อมด้วยจำนวนตัวอย่างที่แตกต่างกันซึ่งต้องเท่ากับหรือเกิน $ L + M-1 $
$$ DFT \ quad size = N \ geq L + M-1 $$ด้วย $ \ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k $,
$ Y (\ โอเมก้า) = X (k) .H (k) $ โดยที่ k = 0,1, …., N-1
โดยที่ X (k) และ H (k) คือ N-point DFTs ของ x (n) และ h (n) ตามลำดับ $ x (n) \ & h (n) $ ถูกบุด้วยเลขศูนย์จนถึงความยาว N มันจะไม่บิดเบือนสเปกตรัมต่อเนื่อง $ X (\ omega) $ และ $ H (\ omega) $ เนื่องจาก $ N \ geq L + M-1 $, N-point DFT ของลำดับเอาต์พุต y (n) เพียงพอที่จะแทน y (n) ในโดเมนความถี่และข้อเท็จจริงเหล่านี้อนุมานได้ว่าการคูณ N-point DFTs ของ X (k ) และ H (k) ตามด้วยการคำนวณ N-point IDFT จะต้องให้ y (n)
นี่หมายความว่าการ Convolution วงกลม N จุดของ x (n) และ H (n) โดยมีช่องว่างเป็นศูนย์เท่ากับการแปลงเชิงเส้นของ x (n) และ h (n)
ดังนั้นจึงสามารถใช้ DFT สำหรับการกรองเชิงเส้น
Caution- N ควรมากกว่าหรือเท่ากับ $ L + M-1 $ เสมอ มิฉะนั้นเอฟเฟกต์นามแฝงจะทำให้ลำดับเอาต์พุตเสียหาย