การประมวลผลสัญญาณดิจิทัล - บทนำ DFT

เช่นเดียวกับการแปลงฟูเรียร์ของสัญญาณเวลาแบบต่อเนื่องการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องสามารถใช้เพื่อแสดงลำดับที่ไม่ต่อเนื่องในการแสดงโดเมนความถี่เทียบเท่าและระบบเวลาแยก LTI และพัฒนาอัลกอริธึมการคำนวณต่างๆ

X (jω) ใน FT ต่อเนื่องเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องของ x (n) อย่างไรก็ตาม DFT เกี่ยวข้องกับการแทนค่า x (n) ด้วยตัวอย่างสเปกตรัม X (ω) ดังนั้นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์นี้จึงมีความสำคัญอย่างมากในการคำนวณในการนำเสนอที่สะดวก ทั้งสองลำดับเป็นระยะและไม่เป็นระยะสามารถประมวลผลผ่านเครื่องมือนี้ ลำดับคาบจำเป็นต้องสุ่มตัวอย่างโดยการขยายระยะเวลาเป็นอนันต์

การสุ่มตัวอย่างโดเมนความถี่

จากบทนำเป็นที่ชัดเจนว่าเราจำเป็นต้องรู้วิธีดำเนินการผ่านการสุ่มตัวอย่างโดเมนความถี่เช่นการสุ่มตัวอย่าง X (ω) ดังนั้นความสัมพันธ์ระหว่างการแปลงฟูเรียร์ตัวอย่างและ DFT จึงถูกสร้างขึ้นในลักษณะต่อไปนี้

ในทำนองเดียวกันลำดับคาบก็สามารถปรับให้พอดีกับเครื่องมือนี้ได้โดยการขยายช่วงเวลา N เป็นอนันต์

ให้ลำดับที่ไม่ใช่คาบเป็น, $ X (n) = \ lim_ {N \ to \ infty} x_N (n) $

การกำหนดการแปลงฟูเรียร์

$ X (\ โอเมก้า) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- jwn} X (K \ delta \ omega) $ ... eq (1)

ที่นี่ X (ω) จะถูกสุ่มตัวอย่างเป็นระยะ ๆ ทุกช่วงเวลา ian เรเดียน

เนื่องจาก X (ω) เป็นคาบเป็น2πเรเดียนเราจึงต้องการตัวอย่างในช่วงพื้นฐานเท่านั้น ตัวอย่างจะถูกนำมาหลังจากช่วงเวลาที่เท่ากันในช่วงความถี่0≤ω≤2π ระยะห่างระหว่างช่วงเวลาที่เท่ากันคือ $ \ delta \ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k $ เรเดียน

ตอนนี้กำลังประเมิน $ \ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k $

$ X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- j2 \ pi nk / N}, $ ... eq ( 2)

โดยที่ k = 0,1, …… N-1

หลังจากแบ่งย่อยข้างต้นและเปลี่ยนลำดับของการสรุป

$ X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ displaystyle \ sum \ LIMIT_ {n = 0} ^ {N-1} [\ displaystyle \ sum \ LIMIT_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (n-Nl)] จ ^ {- j2 \ pi nk / N} $ ... eq (3)

$ \ sum_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (n-Nl) = x_p (n) = a \ quad periodic \ quad function \ quad ของ \ quad period \ quad N \ quad และ \ quad its \ quad fourier \ ชุดรูปสี่เหลี่ยม \ quad = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} C_ke ^ {j2 \ pi nk / N} $

โดยที่ n = 0,1, … .. , N-1; 'p'- ย่อมาจาก periodic entity หรือ function

สัมประสิทธิ์ฟูเรียร์คือ

$ C_k = \ frac {1} {N} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x_p (n) จ ^ {- j2 \ pi nk / N} $ k = 0,1, …, N- 1 ... eq (4)

การเปรียบเทียบสมการ 3 และ 4 เราได้

$ NC_k = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) $ k = 0,1, …, N-1 ... eq (5)

$ NC_k = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = X (e ^ {jw}) = \ displaystyle \ sum \ LIMIT_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_p (n) e ^ { -j2 \ pi nk / N} $ ... eq (6)

จากการขยายชุดฟูเรียร์

$ x_p (n) = \ frac {1} {N} \ displaystyle \ sum \ LIMIT_ {k = 0} ^ {N-1} NC_ke ^ {j2 \ pi nk / N} = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X (\ frac {2 \ pi} {N} k) จ ^ {j2 \ pi nk / N} $ ... eq (7)

โดยที่ n = 0,1, …, N-1

ที่นี่เราได้รับสัญญาณเป็นระยะจาก X (ω) $ x (n) $ สามารถแยกได้จาก $ x_p (n) $ เท่านั้นหากไม่มีนามแฝงในโดเมนเวลา $ N \ geq L $

N = ระยะเวลาของ $ x_p (n) $ L = ระยะเวลาของ $ x (n) $

$ x (n) = \ begin {cases} x_p (n), & 0 \ leq n \ leq N-1 \\ 0, & มิฉะนั้น \ end {cases} $

การทำแผนที่ทำได้ในลักษณะนี้

คุณสมบัติของ DFT

ความเป็นเส้นตรง

ระบุว่า DFT ของสัญญาณรวมกันเท่ากับผลรวมของ DFT ของแต่ละสัญญาณ ให้เรารับสัญญาณสองตัว x ₁ (n) และ x ₂ (n) ซึ่ง DFT s คือ X ₁ (ω) และ X ₂ (ω) ตามลำดับ ดังนั้นถ้า

$ x_1 (n) \ rightarrow X_1 (\ omega) $ และ$ x_2 (n) \ rightarrow X_2 (\ omega) $

จากนั้น$ ax_1 (n) + bx_2 (n) \ rightarrow aX_1 (\ omega) + bX_2 (\ omega) $

ที่ไหน a และ b คือค่าคงที่

สมมาตร

คุณสมบัติสมมาตรของ DFT สามารถหาได้ในลักษณะเดียวกับที่เราได้รับคุณสมบัติสมมาตร DTFT เรารู้ว่า DFT ของลำดับ x (n) แสดงด้วย X (K) ตอนนี้ถ้า x (n) และ X (K) เป็นลำดับที่มีค่าเชิงซ้อนก็จะแสดงเป็นด้านล่างได้

$ x (n) = x_R (n) + jx_1 (n), 0 \ leq n \ leq N-1 $

และ$ X (K) = X_R (K) + jX_1 (K), 0 \ leq K \ leq N-1 $

คุณสมบัติคู่

ให้เราพิจารณาสัญญาณ x (n) ซึ่ง DFT ได้รับเป็น X (K) ให้ลำดับระยะเวลา จำกัด เป็น X (N) จากนั้นตามทฤษฎีบทความเป็นคู่

ถ้า$ x (n) \ longleftrightarrow X (K) $

จากนั้น$ X (N) \ longleftrightarrow Nx [((- k)) _ N] $

ดังนั้นโดยการใช้ทฤษฎีบทนี้ถ้าเรารู้ DFT เราสามารถค้นหาลำดับระยะเวลา จำกัด ได้อย่างง่ายดาย

คุณสมบัติคอนจูเกตที่ซับซ้อน

สมมติว่ามีสัญญาณ x (n) ซึ่ง DFT รู้จักเราในชื่อ X (K) ตอนนี้ถ้าคอนจูเกตที่ซับซ้อนของสัญญาณถูกกำหนดให้เป็น x * (n) เราสามารถค้นหา DFT ได้อย่างง่ายดายโดยไม่ต้องคำนวณมากโดยใช้ทฤษฎีบทที่แสดงด้านล่าง

ถ้า$ x (n) \ longleftrightarrow X (K) $

จากนั้น$ x * (n) \ longleftrightarrow X * ((K)) _ N = X * (NK) $

การเปลี่ยนความถี่แบบวงกลม

การคูณของลำดับ x (n) ด้วยลำดับเลขชี้กำลังที่ซับซ้อน $ e ^ {j2 \ Pi kn / N} $ เทียบเท่ากับการเลื่อนแบบวงกลมของ DFT โดยหน่วย L ในความถี่ นี่คือคุณสมบัติการเปลี่ยนเวลาแบบคู่เป็นแบบวงกลม

ถ้า$ x (n) \ longleftrightarrow X (K) $

จากนั้น$ x (n) e ^ {j2 \ Pi Kn / N} \ longleftrightarrow X ((KL)) _ N $

การคูณสองลำดับ

หากมีสัญญาณสองสัญญาณ x ₁ (n) และ x ₂ (n) และ DFT ตามลำดับคือ X ₁ (k) และ X ₂ (K) การคูณสัญญาณตามลำดับเวลาจะสอดคล้องกับการแปลงแบบวงกลมของ DFT

ถ้า$ x_1 (n) \ longleftrightarrow X_1 (K) \ quad \ & \ quad x_2 (n) \ longleftrightarrow X_2 (K) $

ทฤษฎีบทของ Parseval

สำหรับลำดับค่าที่ซับซ้อน x (n) และ y (n) โดยทั่วไป

ถ้า$ x (n) \ longleftrightarrow X (K) \ quad \ & \ quad y (n) \ longleftrightarrow Y (K) $

จากนั้น$ \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) y ^ * (n) = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X ( K) Y ^ * (K) $