변수의 ODE $r$

Question

이것은 간단한 질문이라고 확신하지만 도움이 필요합니다.

변수 분리를 사용하여 PDE를 풀려고하는 동안 ODE를 발견했습니다.

다음 ODE를 해결하고 싶습니다. $$\frac{R''(r)+\frac{2}{r}R'(r)}{R(r)}=-\lambda^2$$

해결책은 $A\cos(\lambda r)/r +B\sin(\lambda r)/2\lambda r$

플러그를 꽂으면 확인되지만 실제로 솔루션을 얻는 방법은 무엇입니까?

Answer 1

$$\frac{R''(r)+\frac{2}{r}R'(r)}{R(r)}=-\lambda^2$$ $$r{R''(r)+{2}R'(r)}=-rR(r)\lambda^2$$ 다음과 같이 다시 작성하십시오. $$(rR(r))''=-rR(r)\lambda^2$$ $$(rR(r))''+rR(r)\lambda^2=0$$ 이제 다음과 같이 해결하십시오. $$y''+\lambda^2y=0$$ 어디 $y=rR(r)$. 풀기 쉬운 2 차 선형 미분 방정식 일뿐입니다.